邹孟轲母，号孟母。其舍近墓。孟子之少时，嬉游为墓间之事。孟母曰：此非吾所以居处子。乃去，舍市旁。其嬉游为贾人炫卖之事。孟母又曰：此非吾所以处吾子也。复徙居学宫之旁。其嬉游乃设俎豆，揖让进退。孟母曰：真可以处居子矣。遂居。及孟子长，学六艺，卒成大儒之名。君子谓孟母善以渐化。
2019年高三数学（理人教版）二轮复习高考大题专攻练： 7
Word版含解析
此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。
高考大题专攻练 7.立体几何(A组)
大题集训练，练就慧眼和规范，占领高考制胜点！ 1.如图，四面体ABCD中，△ABC是正三角形，△ACD是直角三角形，∠ABD=
∠CBD，AB=BD.
(1)证明：平面ACD⊥平面ABC.
(2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角D -AE-C的余弦值.
【解题导引】(1)若证明平面ACD⊥平面ABC可根据面面垂直的判定在平面ACD内找一条线垂直平面ABC，从而转化为线面垂直，再利用线线垂直确定线面垂直.
(2)利用(1)中的垂直关系建立空间直角坐标系，求平面ADE和平面ACE的法向量，求法向量的余弦值得二面角的余弦值.
【解析】(1)如图，取AC中点O，连接OD，OB.[来源:学科网ZXXK] 由∠ABD=∠CBD，AB=BC=BD知△ABD≌△CBD，所以CD=AD.
孟子的母亲，世人称她孟母。过去孟子小时候，居住的地方离墓地很近，孟子学了些祭拜之类的事。他的母亲说：这个地方不适合孩子居住。于是将家搬到集市旁，孟子学了些做买卖和屠杀的东西。
1 / 4
邹孟轲母，号孟母。其舍近墓。孟子之少时，嬉游为墓间之事。孟母曰：此非吾所以居处子。乃去，舍市旁。其嬉游为贾人炫卖之事。孟母又曰：此非吾所以处吾子也。复徙居学宫之旁。其嬉游乃设俎豆，揖让进退。孟母曰：真可以处居子矣。遂居。及孟子长，学六艺，卒成大儒之名。君子谓孟母善以渐化。
由已知可得△ADC为等腰直角三角形，D为直角顶点， 则OD⊥AC，设正△ABC边长为a，[来源:学科网ZXXK]
则OD=AC=a，OB=a，BD=a，所以OD2+OB2=BD2，即OD⊥OB.又OB∩AC=O，所以OD⊥平面ABC， 又OD?平面ACD，所以平面ACD⊥平面ABC.
(2)如图，以OA，OB，OD所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，当E为BD中点时，平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，故可得
A，D，C，
E，
则=，=.
设平面ADE的一个法向量为n1=，
则即
令z1=1，则x1=1，y1=，所以n1=.同理可得平面AEC的一个法向量n2=，
孟子的母亲，世人称她孟母。过去孟子小时候，居住的地方离墓地很近，孟子学了些祭拜之类的事。他的母亲说：这个地方不适合孩子居住。于是将家搬到集市旁，孟子学了些做买卖和屠杀的东西。
2 / 4
2019年高三数学(理人教版)二轮复习高考大题专攻练：7Word版含解析
