因变量是定性变量的回归分析—Logistic回归分析
一、 从多元线性回归到Logistic 回归
例 这是200个不同年龄和性别的人对某项服务产品的认可的数据(logi.sav). 其中： 年龄是连续变量,性别是有男和女(分别用1和0表示)两个水平的定性变量,而变量“观点”则为包含认可(用1表示)和不认可(用0表示)两个水平的定性变量。
从这张图可以看出什么呢 从这张图又可以看出什么呢
这里观点是因变量, 只有两个值;所以可以把它看作成功概率为p的Bernoulli试验的结果.
但是和单纯的Bernoulli试验不同，这里的概率p为年龄和性别的函数. 必须应用Logistic回归。
二、 多元线性回归不能应用于定性因变量的原因
首先，多元线性回归中使用定性因变量严重违反本身假设条件，即：
因变量只能取两个值时，对于任何给定的自变量值，e本身也只能取两个值。这必然会违背线性回归中关于误差项e的假设条件。 其次，线性概率概型及其问题:
由于因变量只有两个值;所以可以把它看作成功概率p，取值范围必然限制在0—1的区间中，然而线性回归方程不能做到。 另外概率发生的情况也不是线性的。
三、 Logistic函数
Logistic的概率函数定义为： 我们将多元线性组合表示为： 于是，Logistic概率函数表示为： 经过变形，可得到线性函数： 这里， 事件发生概率=P
(y=1)
事件不发生概率=1-P (y=0) 发生比：(odds)?p?? 1?p?p?对数发生比：log(odds)?ln???logit(p) (1?p)??这样，就可将logistic曲线线性化为： 从P到logit P经历了两个步骤变换过程： 第一步：将p转换成发生比，其值域为0到无穷
第二步：将发生比换成对数发生比，其值域科为??????
经过转换， 将P→logit P,在将其作为回归因变量来解释就不再有任何值域方面的限制了，即可线性化！
四、 Logistic回归系数的意义
以logit P方程的线性表达式来解释回归系数，即：
在logistic回归的实际研究中，通常不是报告自变量对P的作用，而是报告自变量对logit P的作用。
以发生比Ω的指数表达式来解释回归系数
与logit P不同，发生比Ω具有一定的实际意义，代表一种相对风险。 因此对logistic回归系数的解释通常是从发生比的指数表达式出发的。 例如：在取得了logistic回归系数的各bi的解以后，将其带入Ω函数， 如果分析x 变化一个单位对于Ω的影响幅度，可以用（x +1）表示，并将其代入上式，得到新的发生比 将两个发生比集中在一起有：
将此称为发生比率，它可测量自变量一个单位的增加给原来的发生比所带来的变化，
一般表达式为：?*/??exp(bi)
说明在其他情况不变的情况下，x一个单位的变化使原来的发生比扩大exp(bi)倍。
比如，原来的Ω为6:4(比值为1.5)，如果一个自变量变化一个单位导致的发生比率为exp(0.693)=2，即表示这一变化将会导致新发生比值Ω*为原来的2倍，即新发生比将是12:4(比值为3)。
我们也可用发生比率减1的差来表示发生比的增长率，如发生比率为2.3，就可以说自变量一个单位的变化会使原发生比增加1.3倍(2.3-1=1.3).
当logistic回归系数为负数时，发生比率小于1。这时的表达要特别小心。 比如发生比率为0.8时，表示新发生比只有原来的80%，那么下降的倍数则是(1-0.8=)0.2.
五、 Logistic回归应用
以上例为例，说明logistic回归分析
SPSS选项：Analyze — Regression — Binary logistic Logistic回归的SPSS输出结果
六、 Logistic模型的检验与评价
1. 对于整体模型的检验
Logistic回归方程求解参数是采用最大似然估计方法，因此其回归方程的整体检验通过似然函数值，表示为：
-2 Log Likelihood
该值越大，意味着回归方程的似然值越小，模型的拟和程度越差。反之，拟和程度越好。
在评价或检验一个含有自变量的Logistic回归模型时，通常是将其含有自变量的Logistic的-2 Log Likelihood与截距模型的相比较。两者之差服从卡方分布，进行卡方检验。
所谓截距模型，就是将所有自变量删除后只剩一个截距系数的模型。
2. 对于回归系数的检验
Logistic回归系数的检验是用Wald统计量进行的。
七、 Logistic回归的标准化回归系数
SPSS进行Logistic回归时不提供标准化 回归系数，但是其手工计算公式很简单：
Age和Sex的标准化回归系数分别约为：
八、 Logistic回归的偏回归系数
通过比较两个自变量的标准化回归系数，
我们发现对于是否同意该观点来说，年龄的负作用要比性别的负作用要大一些。
因变量是定性变量的回归分析—Logistic回归分析
