运动学
一.质点的直线运动运动 1.匀速直线运动 2.匀变速直线运动 3.变速运动: ?微元法
问题：如图所示，以恒定的速率v1拉绳子时，物体沿水平面运动的速率v2是多少？
设在?t（?t?0）的时间内物体由B点运动到C点，绳子与水平面成的夹角由?增大到?+??，绳子拉过的长度为?s1，物体运动的位移大小为?s2。
因?t?0，物体可看成匀速运动（必要时可看成匀变速度运动），物体的速度与位移大小成正比，位移比等于速率比，v平= v即=?s/?t，?s1与?s2有什么关系？ 如果取?ACD为等腰三角形，则B D=?s1，但?s1??s2cos?。 如果取?ACD?为直角三角形，则?s1=?s2cos?,但D?B??s1。 ?普通量和小量；等价、同价和高价
有限量（普通量）和无限量?x?0的区别.
?x?x设有二个小量?x1和?x2，当1?1, ?x1和?x2为等价无穷小，可互相代替，当1?普通量, ?x1
?x2?x2?x?x和?x2为同价无穷小，当1??（或2?0）, ?x2比?x1为更高价无穷小。
?x2?x1在研究一个普通量时,可以忽略小量；在研究一个小量时,可以忽略比它阶数高的小量。
如当??0时，AB弧与AB弦为等价，?（圆周角）和?（弦切角）为同价。 如图?OAB为等腰三角形，?OAD为直角三角形，OA=OB=OD+BD=OD。
ADADABAD，即sin??tan???（等价）。 sin??,tan??,???OAODOAOA?22?，比?更高价的无穷小量。 1?cos??2sin?22回到问题?：因为DD?为高价无穷小量，绳子拉过的长度?s1=BD=BD?，因直角三角形比较方便，常取直角三角形。（v2=v1/cos?）
例：如图所示，物体以v1的速率向左作匀速运动，杆绕O点转动，求 （1）杆与物体接触点P的速率？（v2=v1cos?） （2）杆转动的角速度？（?=v1sin?/OP）。
1. 细杆M绕O轴以角速度为?匀速转动,并带动套在杆和固定的AB钢丝上的
小环C滑动,O轴与AB的距离为d，如图所示.试求小环与Ａ点距离为X时，
x2?d2?） 小环沿钢丝滑动的速度.（答案：d 解:设t时刻小环在C位置,经?t时间(?t足够小),小环移动?x,由于?t很小,所以??也很小,于是小环的速度v=?x/?t,根据图示关系,CD=OC???,?x?CO，OC?x2?d2,从上面关系得 cos??xOC??OCx2?d2?x2?d2x2?d2v?????????.
22?tcos??tcos?cos?d(d/x?d) 1
2. 用微元法求：自由落体运动，在t1到t2时间内的位移。（答案：
解：把t1到t2的时间分成n等分，每段为?t,则?t?则v1=gt1+g?t,?s1=( gt1+g?t)?t, v2=gt1+2g?t,?s2=(gt1+2g?t)?t,????????? vn=gt1+ng?t,?sn=(gt1+ng?t)?t,
1212gt2?gt1） 22t2?t1,且看成匀速。 ng(t2?t1)21212(n?1)ns=?s1+?s2???????+?sn=ngt1?t?g?t?gt1(t2?t1)??gt2?gt1.
2222 若v1=gt1,?s1=gt1?t,
v2=gt1+g?t,?s2=(gt1+g?t)?t,?????????
vn=gt1+（n-1）g?t,?sn=[gt1+（n-1）g?t]?t,
2g(t2?t1)21212(n?1)ns=?s1+?s2???????+?sn=ngt1?t?g?t?gt1(t2?t1)??gt2?gt1
2222 也可用图象法求解。
3. 蚂蚁离开巢沿直线爬行,它的速度与到蚁巢中心的距离成反
比,当蚂蚁爬到距巢中心L1=1m的A点处时,速度是v1=2cm/s.试问蚂蚁从A点爬到距巢中心L2=2m的B点所需的时间为多少? （答案：75s）
解法1:将蚁巢中心定为坐标原点O,OA连线即为x轴正方
(L?L)Lv向,则坐标x处蚂蚁的速度可表示为v?11.将AB连线分成n等份,每等份?x?21.当nnx很大时,每小段的运动可看成是匀速运动.
LvLvL1v1每小段对应的速度为v1?11，v2?11，??????vn?。
L1?(n?1)?xL1L1??x2得t??xv1??xv2????xvn??xL1v1[L1?(L1??x)?(L1?2?x)?(L1?3?x)???]
2(L2?L1)(L1?L2)L22?L1???75s
2L1v12L1v1??xnL1v1[L1??x(n?1)2]??xn(L1?L2)L1v12 解法2：各种图象的意义？因蚂蚁在任一位置时的速度v?v1L1即
11?x，1/v-x的图象如图所示。 vv1L11, xL1?2)(L2?L1)2v1v1L1L22?L1蚂蚁运动的时间t为如图梯形的面积，t==75s. ?22v1L1(二.运动的合成与分解
1.相对运动
4. 某汽艇以恒定的速率沿着河逆流航行,在某一地点丢失一个救生圈,经过t时间才发现丢失,
汽艇立即调头航行,并在丢失点下游s距离处追上救生圈,则水流的速度大小为 . （答案：s/2t）
以地为参照物,水速为v1,船速为v2,船调头后追上救生圈的时间为t?, 对船(v2+v1)t?=(v2-v1)+v1(t?+t)t，得t?=t,所以v1=s/2t. 或以水为参照物,则救生圈静止,t?=t,所以v1=s/2t
5. 在空间某点,向三维空间的各个方向以大小相同的速度v0射出很多的小球,问(1)这些小球在
2
空间下落时会不会相碰?(2)经t时间这些小球中离得最远的二个小球间的距离是多少? （答案：不会相碰；2v0t）
解(1)选取在小球射出的同时开始点作自由下落作参照系,则小球都以v0的速度作匀速直线运动,小球始终在以抛出点为圆心的球面上,所以小球不会相碰.(2)这些小球中离得最远的二个小球间的距离等于球面的直径,即d=2v0t.
6. 一只气球以10m/s的速度匀速上升,某时刻在气球正下方距气球为10m的地方有一个石子以v0
2
的初速度竖直上抛(取g=10m/s),石子要击中气球,则v0应满足什么条件?
（答案：v0?10(1?2)m/s）
解法1:设气球的速度为v,开始相距为h,当石子与气球的速度相等时追上,石子要击中气球,否则石子不能击中气球,
速度相等时所用的时间t=(v0-v)/a---(1),
12
则好击中时的位移关系为v0t-gt2=vt+h---(2)
2解得石子的初速度至少v0?v?2gh?10(1?2)m/s.
解法2:以气球为参照物,则初速度v1=v0-v,未速度v2=0,所以(v0-v)=2gh, 解得石子的初速度至少v0?v?2gh?10(1?2)m/s.
2.物体系的相关速度：杆、绳上各点在同一时刻具有相同的沿杆、绳的分速度（即两质点间的距离的改变只取决于沿它们连线方向分运动，而它们相对方们位改变只取决于垂直连线方向的分运动）。
求下列各图中v1和v2的关系.
2
答案依次是：A:v1=v2cos?;B:v1=v2cos?;C:v1cos?=v2cos?;D:v2=vtan?; 7. 如图所示，AB杆的A端以匀速v沿水平地面向右运动，在运
动时杆恒与一半圆周相切，半圆周的半径为R，当杆与水平线的交角为?时，求此时：
（1）杆上与半圆周相切点C的速度大小。 （2）杆转动的角速度。
（3）杆上AC中点的速度大小。
（4）杆与半圆周相切的切点的速度大小。
sin2?v2[答案：（1）vcos?；（2）tan?sin?；（3）；vcos??；（4）vtan?sin?]
4R 解：把A的速度分解成沿杆的速度v1?vcos?，和垂直杆方向速度v2?vsin?。
（1）沿同一杆的速度相等，所以杆上与半圆周相切点C的速度大小vC?v1?vcos?。 （2）A点对C点的转动速度为v2?vsin?，
vsin?vsin?v所以杆转动的角速度为????tan?sin?。
ACRcot?R （3）vAC?2v1v22sin2?2?()?vcos?? 24 （4）在相同时间内，杆转过的角度与切点转过的角度相同，所以切点转动的角速度也
3
vtan?sin?， R???R?vtan?sin?。 杆与半圆周相切的切点的速度大小vC为??8. 如图所示，杆OA长为R，可绕过O点的水平轴在竖直平面内转动，其端
点A系着一跨过定滑轮B、C的不可伸长的轻绳，绳的另一端系一物块M，滑轮的半径可忽略，B在O的正上方，OB之间的距离为H。某一时刻，当绳的BA段与OB之间的夹角为?时，杆的角速度为?，求此时物块M的速率vM。
解：vA??R，
vA沿绳BA的分量vM?vAcos?
由正弦定理知
sin?OABsin? ?HR?? 2由以上各式得vM??Hsin?
由图看出?OAB?3.运动的合成与分解:
??????在船渡河中，v船地?v船水?v水地。推广v甲丙?v甲乙?v乙丙
9. 当骑自行车的人向正东方向以5m/s的速度行驶时,感觉风从正北方向吹来,当骑自行车的人
的速度增加到10m/s时,感觉风从正东北方向吹来.求风对地的速度及的方向.
（答案：52m/s，方向正东南）
? V风对地=V风对人+V人对地，得V风对地=52m/s，方向正东南
10. 如图所示,质点P1以v1的速度由A向B作匀速直线运动,同时质点P2以v2
的速度由B向C作匀速直线运动,AB=L,?ABC=?,且为锐角,试确定何时刻t,P1、P2的间距d最短,为多少?
Lv2sin?L(v?v2cos?)d?（答案：t?21；） 222v1?v2?2v1v2cos?v?v?2vvcos?1212 解:以A为参照物,vBA=vB地+v地A。B相对A的运动方向和速度的大小
如图所示.
22则B相对A的速度为v?v1?v2?2v1v2cos?
有正弦定理sin??v?vcos?v2 sin?，cos??1?sin2??12vvLv2sin?2v12?v2当B运动到D时(AD垂直AB)P1、P2的间距d最短,d?Lsin??L??2v1v2cos?.
所需的时间t?Lcos??vv1?v2cos?L(v?v2cos?)v?21. 2vv1?v2?2v1v2cos?11. 一半径为R的半圆柱体沿水平方向向右以速率为v做匀速运动.在半
圆柱体上搁置一根竖直杆,杆与半圆柱体接触为点P，此杆只能沿竖
4
直方向运动,如图所示.求当OP与柱心的连线与竖直方向的夹角为?时,竖直杆运动的速度和加速度.
（答案：vtan?；a?v2Rcos?3）
解:(1)取半圆柱体作为参照系.在此参照系中P点做圆周运动,v杆柱的方向沿着圆上P点的切线方向,v杆地的方向竖直向上,因为???v杆地?v杆柱?v柱地,
矢量图如图a所示.得v杆地=vtan?。 也可用微元法求.
??? (2)有a杆地?a杆柱?a柱地,
因a柱地=0,所以a杆地=a杆柱,
而a杆地的方向竖直向下,又a杆柱可分解成切线方向at和法线方向an,矢量图如图b所示,
anv2?an??,所以得到a杆地?.cos?Rcos3?RRcos2???????问题：若圆柱体的加速度为a，则a杆地=？a杆地?a杆柱?a柱地?an?at?a柱地，
2v杆柱v2
an?2v杆柱R?v2Rcos?2，at?antan?，a杆地的方向仍在竖直方向上。
三．抛体运动
2
1.竖直上抛运动:v=v0-gt,s=v0t-gt/2.
2
如初速v0=20m/s竖直向上抛出,取g=10m/s.求经t=3s物体的位移.
2
可用分段解,也可用s=v0t-gt/2直接求解(15m,方向向下)
12. 在地面上的同一点分别以v1和v2的初速度先后竖直向上抛出两个可视作质点的小球,第二个
小球抛出后经过?t时间与第一个小球相遇,改变两球抛出的时间间隔,便可改变?t的值,已
知v1 22v2?v2?v1g） 11 解法1：h1?v1(t??t)?g(t??t)2，h2?v2?t?g?t2，相碰条件h1?h2 22得gt2?2(g?t?v1)t?2(v2?v1)?t?0 要使方程有解：[2(g?t?v1)]2?4?g?2(v2?v1)?t?0 解得?t?22v2?v2?v1g,取?t?22v2?v2?v1g 解法2：因v1 22222v2?v2?v1v2?v2?v1v112?v2?t?g?t,解得?t?最大:,取?t? 2g2gg2.平抛运动 水平方向匀速运动:vx=v0,x=v0t 2 竖直方向自由落体运动:vy=gt,y=gt 13. 如图所示,从高H处的同一点先后平抛两球1和2.球1直接经竖直挡板 的顶端落到水平地面B点,球2与地面的A点碰撞后经竖直挡板的顶端,第二次落到水平地面B点.设球2与地面的碰撞是弹性碰撞,求竖直挡 3板的高度h. （答案：h?H） 4 5
高中物理竞赛运动学
