小学奥数-几何五大模
型(蝴蝶模型)
任意四边形、梯形与相似模
型
模型三 蝴蝶模型(任意四边形模型)
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”):
DAS2BS1OS3CS4
①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4
②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型,一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系;另一方面,也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图,某公园的外轮廓是四边形ABCD,被对角线AC、BD分成四
个部分,△AOB面积为1平方千米,△BOC面积为2平方千米,△COD的面积为3平方千米,公园由陆地面积是6.92平方千米和人工湖组成,求人工湖的面积是多少平方千米?
CBOAD
【分析】 根据蝴蝶定理求得S△AOD?3?1?2?1.5平方千米,公园四边形ABCD的面积是
1?2?3?1.5?7.5平方千米,所以人工湖的面积是7.5?6.92?0.58平方千米
【巩固】如图,四边形被两条对角线分成4个三角形,其中三个三角形的面积已知,
求:⑴三角形BGC的面积;⑵AG:GC??
A2B1G3DC
【解析】 ⑴根据蝴蝶定理,SVBGC?1?2?3,那么SVBGC?6;
⑵根据蝴蝶定理,AG:GC??1?2?:?3?6??1:3. (???)
【例 2】 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)。如果三角形ABD的面积等于三角
1形BCD的面积的,且AO?2,DO?3,那么CO的长度是DO的长度的_________倍。
3AOBDAHOCBDG 【解析】 在本题中,四边形ABCD为任意四边形,对于这种”不良四边形”,无外乎两种处理方
法:⑴利用已知条件,向已有模型靠拢,从而快速解决;⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件SVABD:SVBCD?1:3,这可以向模型一蝴蝶定理靠拢,于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系,转化为边的关系,可以得到第二种解法,但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”,于是可以作AH垂直BD于H,CG垂直BD于G,面积比转化为高之比。再应用结论:三角形高相同,则面积之比等于底边之比,得出结果。请老师注意比较两种解法,使学生体会到蝴蝶定理的优势,从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一:∵AO:OC?S?ABD:S?BDC?1:3, ∴OC?2?3?6, ∴OC:OD?6:3?2:1.
解法二:作AH?BD于H,CG?BD于G. ∵S?ABD?S?BCD, ∴AH?CG, ∴S?AOD?S?DOC, ∴AO?CO, ∴OC?2?3?6, ∴OC:OD?6:3?2:1.
【例 3】 如图,平行四边形ABCD的对角线交于O点,△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积
C13131313依次是2、4、4和6。求:⑴求△OCF的面积;⑵求△GCE的面积。
小学奥数-几何五大模型(蝴蝶模型)知识讲解
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