小学奥数-几何五大模
型(蝴蝶模型)
任意四边形、梯形与相似模
型
模型三 蝴蝶模型（任意四边形模型）
任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：
DAS2BS1OS3CS4
①S1:S2?S4:S3或者S1?S3?S2?S4
②AO:OC??S1?S2?:?S4?S3?
蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积对应的对角线的比例关系。
【例 1】 (小数报竞赛活动试题)如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四
个部分，△AOB面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园由陆地面积是6．92平方千米和人工湖组成，求人工湖的面积是多少平方千米？
CBOAD
【分析】 根据蝴蝶定理求得S△AOD?3?1?2?1.5平方千米，公园四边形ABCD的面积是
1?2?3?1.5?7.5平方千米，所以人工湖的面积是7.5?6.92?0.58平方千米
【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，
求：⑴三角形BGC的面积；⑵AG:GC?？
A2B1G3DC
【解析】 ⑴根据蝴蝶定理，SVBGC?1?2?3，那么SVBGC?6；
⑵根据蝴蝶定理，AG:GC??1?2?:?3?6??1:3． (？？？)
【例 2】 四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O(如图所示)。如果三角形ABD的面积等于三角
1形BCD的面积的，且AO?2，DO?3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。
3AOBDAHOCBDG 【解析】 在本题中，四边形ABCD为任意四边形，对于这种”不良四边形”，无外乎两种处理方
法：⑴利用已知条件，向已有模型靠拢，从而快速解决；⑵通过画辅助线来改造不良四边形。看到题目中给出条件SVABD:SVBCD?1:3，这可以向模型一蝴蝶定理靠拢，于是得出一种解法。又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化为边的关系，可以得到第二种解法，但是第二种解法需要一个中介来改造这个”不良四边形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G，面积比转化为高之比。再应用结论：三角形高相同，则面积之比等于底边之比，得出结果。请老师注意比较两种解法，使学生体会到蝴蝶定理的优势，从而主观上愿意掌握并使用蝴蝶定理解决问题。 解法一：∵AO:OC?S?ABD:S?BDC?1:3， ∴OC?2?3?6， ∴OC:OD?6:3?2:1．
解法二：作AH?BD于H，CG?BD于G． ∵S?ABD?S?BCD， ∴AH?CG， ∴S?AOD?S?DOC， ∴AO?CO， ∴OC?2?3?6， ∴OC:OD?6:3?2:1．
【例 3】 如图，平行四边形ABCD的对角线交于O点，△CEF、△OEF、△ODF、△BOE的面积
C13131313依次是2、4、4和6。求：⑴求△OCF的面积；⑵求△GCE的面积。
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