求与圆有关的轨迹方程
[概念与规律] 求轨迹方程的基本方法。
(1) 直接法:这是求动点轨迹最基本的方法,在建立坐标系后,直接根据等量关系式建立方程。 (2) 转移法(逆代法):这方法适合于动点随已知曲线上点的变化而变化的轨迹问题,其步骤是:
设动点M(x,
y),已知曲线上的点为 N (xo, yo),
求出用x,y表示xo,yo的关系式, 将(xo, yo)代入已知曲线方程,化简后得动点的轨迹方程。 (3) 几何法:这种方法是根据已知图形的几何性质求动点轨迹方程。
(4) 参数法:这种方法是通过引入一个参数来沟通动点( x,y)中x,y之间的关系,后消去参数,求得轨迹方程。 (5) 定义法:这是直接运用有关曲线的定义去求轨迹方程。 [讲解设计]重点和难点
例1 已知定点A(4,o ),点B是圆x2+y2=4上的动点,点P分AB的比为2: 1,求点P的轨迹方程。
例2 自A(4,0)引圆x2+y2=4的割线ABC求弦BC中点P的轨迹方程。
方法一:(直接法)设P(x,y),连接OP则OPL BC
』-=一止 当 x^0 时,kop ■ kAP=— 1,即 TT x—4 即 x + y— 4x = O.①
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当x= O时,P点坐标(0,0)是方程①的解,
BC中点P的轨迹方程为x+ y — 4x= O(在已知圆内的部分).
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方法二:(定义法)
由方法一知 OPtAP,取 OA中点 M 则 M2,0) , |PM =2 IOA = 2,
由圆的定义知,P的轨迹方程是(x — 2)+ y = 4(在已知圆内的部分).
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例3 已知直角坐标平面上的点 Q(2, 0)和圆C: x2+y2=1,动点M到圆C的切线长与|MQ|的比等于常数 ( 0),求动点M的轨迹方程,并说明它表示什么曲线。
设直线MN切圆于N,则动点M组成的集合是:P={M||MN|= J'|MQ|}
T圆的半径 |ON|=1,二 |MN|2=|MO|2-|ON|2=|MO|2-1 , 设点
M的坐标为(x, y),则j
整理得(x-4) 2+y2=7 .
???动点M的轨迹方程是(x-4 ) 2+y2=7 . 它表示圆,该圆圆心的坐标为(4 , 0),半径为越
例4 如图,已知两条直线11: 2x-3y+2=0 , I2: 3x-2y+3=0,有一动圆(圆心和半径都在变化)与 丨1,丨2都相交, 并且I 1与I 2被截在圆内的两条线段的长度分别是 26和24,求圆心M的轨迹方程。
设动圆的圆心为 M(x,y),半径为r,点M到直线1* 2的距离分别为d1和dz 由弦心距、半径、半弦长间的关系得,
一 J 即」
消去r得动点M满足的几何关系为'町=25, (靈一护ay 心一丹4爭 即 口
口 =25.
化简得(x+1) -y=65.此即为所求的动圆圆心 M的轨迹方程.
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练习与作业
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1、已知:点P是圆x y
PA的中点M的轨迹方程
16上的一个动点,点 A是x轴上的定点,坐标为(12,0),当P点在圆上运动时,求线段
2、已知点 A( -1,0)与点B( 1,0),C是圆x2+y2=1上的动点,连接 BC并延长到 D,使|CD|=|BC|,求AC与OD( O为 坐标原点)的交
点 P的轨迹方程。
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3、求与y轴相切,且与圆 x y 4x 0也相切的圆P的圆心的轨迹方程
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4、由点P分别向两定圆G:(x
2) y 1 及圆 C2 :(x 2)
y 4所引切线段长度之比为
1 : 2,求点P的轨迹方程
5、已知与 0C : x2 y2 2x 2y 1 0相切的直线I交x轴、y轴于A、B两点,0为坐标原点,
OA a,OB ba 2,b 2 .
(1)求证:a 2 b 2
2 ;(2)求线段AB中点P的轨迹