vn?rf2gR (10)
rnrf?rn
vf?rnr2gvn?nR (11) rfrfrf?rn当卫星沿16小时轨道运行时，根据题给的数据有
rn?R?Hn rf?R?Hf 由(11)式并代入有关数据得
vf?1.198km/s (12)
依题意，在远地点星载发动机点火，对卫星作短时间加速，加速度的方向与卫星速度方向相同，加速
后长轴方向没有改变，故加速结束时，卫星的速度与新轨道的长轴垂直，卫星所在处将是新轨道的远地点.
??6.00?102km.由(11)式，所以新轨道远地点高度Hf??Hf?5.0930?104km，但新轨道近地点高度Hn可求得卫星在新轨道远地点处的速度为
v?km/s (13) f?1.230卫星动量的增加量等于卫星所受推力F的冲量，设发动机点火时间为?t，有
m?v?f?vf??F?t (14) 由(12)、(13)、(14)式并代入有关数据得
?t=1.5?10s (约2.5分) (15)
这比运行周期小得多.
3. 当卫星沿椭圆轨道运行时，以r表示它所在处矢径的大小，v表示其速度的大小，?表示矢径与速度的夹角，则卫星的角动量的大小
L?rmvsin??2m? (16 ) 其中
2??rvsin? （17）
是卫星矢径在单位时间内扫过的面积，即卫星的面积速度.由于角动量是守恒的，故?是恒量.利用远地点处的角动量，得
12??rfvf (18)
又因为卫星运行一周扫过的椭圆的面积为
S?πab (19) 所以卫星沿轨道运动的周期
T?由(18)、(19)、(20) 式得
T?代入有关数据得
12S? (20)
2πab (21) rfvf
8 T?5.67?长轴a与a0之比的立方，即
41s 0(约15小时46分) (22)
注：本小题有多种解法.例如，由开普勒第三定律，绕地球运行的两亇卫星的周期T与T0之比的平方等于它们的轨道半
23?T??a???????T0??a0?若a0是卫星绕地球沿圆轨道运动的轨道半径，则有
?2π?GMm?ma?0?2a0T0??2
得
T024π24π2??23a0GMgR
从而得
T?2πaaRg
代入有关数据便可求得(22)式.
4. 在绕月圆形轨道上，根据万有引力定律和牛顿定律有
GMmm2π2?mr() (23) m2rmTm这里rm?r?Hm是卫星绕月轨道半径，Mm是月球质量. 由(23)式和(9)式，可得
34π2rmM (24) Mm?22gRTm代入有关数据得
三、参考解答：
足球射到球门横梁上的情况如图所示（图所在的平面垂直于横梁
Mm?0.012 4 (25) M?为过横梁轴线）.图中B表示横梁的横截面，O1为横梁的轴线；O1O1轴线并垂直于轴线的水平线；A表示足球，O2为其球心；O点为足球与
?的夹角??横梁的碰撞点，碰撞点O的位置由直线O1OO2与水平线O1O1表示.设足球射到横梁上时球心速度的大小为v0，方向垂直于横梁沿水
平方向，与横梁碰撞后球心速度的大小为v，方向用它与水平方向的夹角?表示?如图?.以碰撞点O为原点作直角坐标系Oxy，y轴与O2OO1重合.以??表示碰前速度的方向与y轴的夹角，以?表示碰后速度的方向与y轴
(负方向)的夹角，足球被横梁反弹后落在何处取决于反弹后的速度方向，即角?的大小.
以Fx表示横梁作用于足球的力在x方向的分量的大小，Fy表示横梁作用于足球的力在y方向的分量的大小，?t表示横梁与足球相互作用的时间，m表示足球的质量，有
Fx?t?mv0x?mvx (1) Fy?t?mvy?mv0y (2)
式中v0x、v0y、vx和vy分别是碰前和碰后球心速度在坐标系Oxy中的分量的大小.根据摩擦定律有 Fx??Fy (由（1）、（2）、（3）式得 ??v0x?vxv?v (y0y根据恢复系数的定义有
vy?ev0y 因
tan?v0x0?v 0y tan??vxv y由（4）、（5）、（6）、（7）各式得
tan??1?etan?1?0????1?e?? 由图可知
????? 若足球被球门横梁反弹后落在球门线内，则应有
??90 (在临界情况下，若足球被反弹后刚好落在球门线上，这时??90.由（9）式得
tan?90????tan? (因足球是沿水平方向射到横梁上的，故?0??，有
1tan??1etan?????1??1?e?? (3) 4)
（5） （6） （7） （8） （9） 10) 11) 12)
这就是足球反弹后落在球门线上时入射点位置?所满足的方程.解（12）式得
?1??1?e??1???e2?2?1???4e?e??e? tan?? (13)
2代入有关数据得
tan??1.6 (14) 即
??58 (15) 现要求球落在球门线内，故要求
2??58 (16)
四、参考解答：
1. 当阀门F关闭时，设封闭在M和B中的氢气的摩尔数为n1，当B处的温度为T 时，压力表显示的压强为 p，由理想气体状态方程，可知B和M中氢气的摩尔数分别为 n1B?pVB (1) RT n1M?式中R为普适气体恒量.因
pVM (2) RT0 n1B?n1M?n1 (3) 解（1）、（2）、（3）式得 或
1n1R1VM?? (4) TVBpVBT0T?
pn1RVM?p (5) VBVBT0(4)式表明，与
1T1成线性关系，式中的系数与仪器结构有关.在理论上至少要测得两个已知温度下的压强，p作
11对的图线，就可求出系数. 由于题中己给出室温T0时的压强p0，故至少还要测定另一己知温度下的Tp压强，才能定量确定T与p之间的关系式.
2. 若蒸气压温度计测量上限温度Tv时有氢气液化，则当B处的温度T?Tv时，B、M 和E中气态氢的总摩尔数应小于充入氢气的摩尔数.由理想气体状态方程可知充入氢气的总摩尔数
n2?p0?VB?VM?VE? （6）
RT0pvVB （7） RTv假定液态氢上方的气态氢仍可视为理想气体，则B中气态氢的摩尔数为 n2B?在（7）式中，已忽略了B中液态氢所占的微小体积.由于蒸气压温度计的其它都分仍处在室温中，其中氢气的摩尔数为
n2M?n根据要求有
n2B?n2M?n2E?n2 （9） 解（6）、（7）、（8）、（9）各式得 VM?VE?代入有关数据得
VM?VE?18VB (11)
五、答案与评分标准：
1．
?2Epν?VM?VE? （8）
RT0pvT0?p0TvVB (10)
?p0?pv?Tv22?1?2?2?0.59(3分) 2 (2分)
2．如图(15分.代表电流的每一线段3分，其中线段端点的横坐标占1分，线段的长度占1分，线段的纵坐标占1分) 4 3 2 1 O -1 -2 -3 -4
0.83 1.17 1 2.00 2 2.83 3 4.00 4 x/s I/nev
六、参考解答：
如果电流有衰减，意味着线圈有电阻，设其电阻为R，则在一年时间t内电流通过线圈因发热而损失的能量为
第25届全国中学生物理竞赛复赛试卷+参考解答与评分标准
