绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1．已知集合M?{x?4?x?2}，N?{xx2?x?6?0?，则MIN= A．{x?4?x?3?
B．{x?4?x??2? C．{x?2?x?2?
D．{x2?x?3?
2．设复数z满足z?i=1，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A．(x+1)2?y2?1
B．(x?1)2?y2?1 C．x2?(y?1)2?1 D．x2?(y+1)2?13．已知 a?log20.2，b?20.2，c?0.20.3，则 A．a?b?c
B．a?c?b
C．c?a?b
D．b?c?a
4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是5?15?12（2≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
5?12．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm，头顶至脖子下端的长度为26 cm，则其身高可能是
A．165 cm B．175 cm C．185 cm D．190cm
5．函数f(x)=
sinx?xcosx?x2在[??,?]的图像大致为 A． B．
C． D．
6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从
下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是
A．
516 B．
111132 C．
2132 D．
16 7．已知非零向量a，b满足|a|?2|b|，且(a?b)?b，则a与b的夹角为 A．
π 2π5π6B．
π3 C．
3 D．
6 8．如图是求
12?1的程序框图，图中空白框中应填入
2?12
A．A=
112?A B．A=2?A C．A=
11?2A
D．A=1?12A
9．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4?0，a5?5，则
A．an?2n?5 B． an?3n?10 C．S2n?2n?8n
D．Sn?12n2?2n 10．已知椭圆C的焦点为F1(?1,0)，F2(1,0)，过F2的直线与C交于A，B两点．若
|AF2|?2|F2B|，|AB|?|BF1|，则C的方程为
x222A．?y2?1 B．x?y22?1 C．x2?y32?1 D．x2435?y24?1 11．关于函数f(x)?sin|x|?|sin x|有下述四个结论：
①f(x)是偶函数 ②f(x)在区间（
?2,?）单调递增
③f(x)在[??,?]有4个零点 ④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是 A．①②④
B．②④
C．①④
D．①③
12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三
角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
A．86? B．46? C．26? D．6?
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．曲线y?3(x2?x)ex在点(0，0)处的切线方程为____________．
14．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a121?3，a4?a6，则S5=____________．
15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结
束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜
的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．
x2．已知双曲线C：y216a2?b2?1(a?0,b?0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C
的两条渐近线分别交于A，B两点．若uFuuAr?uABuuruuuruuuur1，F1B?F2B?0，则C的离心率为____________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，
每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．(12分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设
(sinB?sinC)2?sin2A?sinBsinC．
（1）求A；
（2）若2a?b?2c，求sinC． 18．（12分）
如图，直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的底面是菱形，AA1=4，AB=2，∠BAD=60°，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点． （1）证明：MN∥平面C1DE； （2）求二面角A-MA1-N的正弦值．
19．（12分）
已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为32的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．
（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；
（2）若uAPuur?3uPBuur，求|AB|．
20．（12分）
已知函数f(x)?sinx?ln(1?x)，f?(x)为f(x)的导数．证明：
（1）f?(x)在区间(?1,?2)存在唯一极大值点；
（2）f(x)有且仅有2个零点．
21．（12分）
为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得?1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得?1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X． （1）求X的分布列；
（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi(i?0,1,L,8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0?0，p8?1，pi?api?1?bpi?cpi?1(i?1,2,L,7)，其中a?P(X??1)，b?P(X?0)，c?P(X?1)．假设??0.5，
??0.8．
(i)证明：{pi?1?pi}(i?0,1,2,L,7)为等比数列；
(ii)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一
题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
??1?t2x?在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为??1?t2，（t为参数）．以坐标原点O为
??y?4t?1?t2极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为
2?cos??3?sin??11?0．
（1）求C和l的直角坐标方程； （2）求C上的点到l距离的最小值． 23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知a，b，c为正数，且满足abc=1．证明： （1）
1?1?1?a2?b2abc?c2； （2）(a?b)3?(b?c)3?(c?a)3?24．
2019年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学?参考答案
一、选择题
1．C 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A 7．B 8．A 9．A 10．B 11．C 12．D
二、填空题
13．y=3x 14．
1213 15．0.18
16．2
三、解答题
17．解：（1）由已知得sin2B?sin2C?sin2A?sinBsinC，故由正弦定理得b2?c2?a2?bc．由余弦定理得cosA?b2?c2?a22bc?12． 因为0??A?180?，所以A?60?．
（2）由（1）知B?120??C，由题设及正弦定理得2sinA?sin?120??C??2sinC，
即
632?2cosC?12sinC?2sinC，可得cos?C?60????22． 由于0??C?120?，所以sin?C?60???22，故 sinC?sin?C?60??60??
?sin?C?60??cos60??cos?C?60??sin60?
?6?24． 18．解：（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME=
12B1C． 又因为N为A11D的中点，所以ND=
2A1D． 由题设知A1B1?PDC，可得B1C?PA1D，故ME?PND， 因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED． 又MN?平面EDC1，所以MN∥平面C1DE．
（2）由已知可得DE⊥DA．
以D为坐标原点，DAuuur的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz，则
A(2,0,0)，A2)，N(1,0,2)，uAuuruuuur1(2,0,4)，M(1,3,1A?(0,0,?4)，A1M?(?1,3,?2)，uAuuuruuuur1N?(?1,0,?2)，MN?(0,?3,0)．
设m?(x,y,z)为平面A??m?uuuur1MA的法向量，则?uAu1uMr?0?0， ??m?A1A所以????x?3y?2z?0，??4z?0．可取m?(3,1,0)．
?uuuu设n?(p,q,r)为平面A??n?MNr?0，1MN的法向量，则??n?uAuuur ?1N?0．所以????3q?0，???p?2r?0．可取n?(2,0,?1)．
于是cos?m,n??m?n2315|m‖n|?2?5?5， 所以二面角A?MA1?N的正弦值为
105． ．解：设直线l:y?32x?t,A?x1,y1?,B?x2,y2?． （1）由题设得F??3?4,0???，故|AF|?|BF|?x351?x2?2，由题设可得x1?x2?2．
?3由??y?x?t，可得9x2?12(t?1)x?4t2?0，则x12(t?1)?21?x2??． ?y2?3x9从而?12(t?1)579?2，得t??8． 所以l的方程为y?32x?78． （2）由uAPuur?3uPBuur可得y1??3y2．
?由?3?y?x?t，可得y2?2y?2t??20． ?y2?3x所以y1?y2?2．从而?3y2?y2?2，故y2??1,y1?3．
代入C的方程得x1?3,x2?13． 故|AB|?4133． 20．解：（1）设g(x)?f'(x)，则g(x)?cosx?11?x，g'(x)??sinx?1(1?x)2.
当x????1,???2??时，g'(x)单调递减，而g'(0)?0,g'(?2)?0，可得g'(x)在????1,??2??有唯
一零点， 设为?.
则当x?(?1,?)时，g'(x)?0；当x????,???2??时，g'(x)?0. 19
(完整word版)2019高考全国卷数学答案
