所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
专题2.10 函数最值
【考纲解读】
要 求 内 容 A B C 函数概念与基本初等函数最值 函数Ⅰ
【知识清单】
1 函数最值的求法:
(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是[a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.
(2)利用配方法:形如y?ax?bx?c(a?0)型,用此种方法,注意自变量x的范围. (3)利用三角函数的有界性,如sinx?[?1,1],cosx?[?1,1].
2备注 √1．会运用函数图像理解和研究函数的最值． 2．会根据函数解析式选用恰当方法求函数的最值． ax2?bx?eax?b(4)利用“分离常数”法:形如y= 或y? (a,c至少有一个不为零)
cx?dcx?d的函数,求其最值可用此法.
(5)利用换元法:形如y?ax?b?cx?d型,可用此法求其最值. (6)利用基本不等式:
(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值
【考点深度剖析】
函数的最值是函数的一个重要性质，几乎是每年必考的内容，求函数最值的方法较多，需结合函数解析式进行选用．
【重点难点突破】
考点1 函数的最值
4
【2-1】求函数y＝x＋(x<0)的最大值．
x【答案】－4
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ - 1 -
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
4?4?【解析】∵x<0，∴x＋＝－?－x－?≤－4，
x?x?
当且仅当x＝－2时等号成立． ∴y∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]．
【2-2】 求函数y＝x＋2x(x∈[0,3])的最值． 【答案】最大值为15，最小值为0.
2
1－x【2-3】 求函数y＝2的最大值．
1＋x【答案】1
1－x2
【解析】y＝＝22－1，
1＋x1＋x∵1＋x≥1， 2∴0<2≤2.
1＋x∴－1<
2
2－1≤1.即y∈(－1,1]． 1＋x2
2
2
∴ 函数的值域为(－1,1]．
【2-4】 求函数f(x)＝x－1－2x.的最大值． 【答案】
1. 22
1－t【解析】法一：(换元法)令1－2x＝t，则t≥0且x＝，
2
1－t12
于是y＝－t＝－(t＋1)＋1，
22
11由于t≥0，所以y≤，故函数的值域是(??,].
221
法二：(单调性法)容易判断f(x)为增函数，而其定义域应满足1－2x≥0，即x≤，所以
2
2
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所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
11y?f()?
221即函数的值域是(??,].
2x2－x【2-5】 求函数y＝2的最小值．
x－x＋1
1【答案】最小值为?.
3
【思想方法】
求函数最值的五个常用方法
(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值．
(2)图像法：先作出函数的图像，再观察其最高点、最低点，求出最值．
(3)换元法：对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数，再用相应的方法求最值． (4)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值．
(5)导数法：先求导，然后求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值． 【温馨提醒】求函数最值的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法；在求函数的值域或最值时，应先确定函数的定义域．
【易错试题常警惕】
求函数的值域或最值时，忽视函数的定义域导致错误．
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ - 3 -
所谓的光辉岁月，并不是以后，闪耀的日子，而是无人问津时，你对梦想的偏执。
设f?x??loga?1?x??loga?3?x?（a?0且a?1），且f?1??2，则f?x?在区间?0,?2上的最大值是 ． 【答案】
?3???
同是寒窗苦读，怎愿甘拜下风！ - 4 -
(新)江苏版2018年高考数学一轮复习专题2.10函数最值讲
