2.4 正态分布
课后导练
基础达标
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1.如果提出统计假说：某工人制造的零件尺寸服从正态分布N（μ，σ）,当随机抽取其一个值a时，下列哪种情况中，可以说明假设不成立( )
A.a∈(μ-3σ,μ+3σ) B.a?(μ-3σ,μ+3σ) C.a∈(μ-2σ,μ+2σ) D.a?(μ-2σ,μ+2σ) 答案：B
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2.设随机变量ξ服从正态分布N(10,2)，且P(|ξ-10|＜a)=0.9,则a=___________(a取整数).
答案：a=3.
3.正态总体的概率密度函数f(x)=
2?e?2(x?2.5)(x∈R)，则正态总体在区间(1,4)内取值的
2概率________________. 答案：0.997
4.ξ服从标准正态分布.
试求:(1)P(ξ＜1.8); (2)P(-1＜ξ＜1.5); (3)P(ξ＞1.5); (4)P(|ξ|＜2).
解析：标准正态曲线关于y轴对称，且有P（x＜x0）=Φ(x0),Φ(-x0)=1-Φ(x0)，关于Φ（x）的计算可查标准正态分布表，可得（1）P（ξ＜1.8）=Φ(1.8)=0.964 1;(2)P(-1＜ξ＜1.5)=Φ(1.5)-Φ(-1)=0.933 2-1+Φ(1)=0.774 5;(3)P(ξ＞1.5)=1-Φ(1.5)=1-0.933 2=0.066 8;(4)P(|ξ|＜2)=Φ(2)-Φ(-2)=2Φ(2)-1=2×0.977 2-1=0.954 4.
5.在某次人事录用考试中，某科的分数ξ—N(80,100)(满分100分)，已知某考生通过查分得知自己的成绩为92分，且排名第20名，而总共录取人数为50名，问录取分数线约为多少（若下限分数有相同者，再补充其他规定）. 解析：因为ξ—N(80,100)，由条件知 P(ξ≥92)=1-P(ξ＜92)=1-Φ(
92?80)=1-Φ(1.2)=1-0.884 9=0.115 1. 10这说明成绩在92分和92分以上的这20名考生在全体考生中占11.51%. 因此考生总数大致为
20≈174名，
0.1151故前50名考生在全体考生中占的比例为0.287 4. 设第50名考生的成绩为x，则 P(ξ≥x)=1-P(ξ＜x)
x?80)=0.287 4. 10x?80x?80Φ()=0.712 6,=0.56,解得x=85.6.所以录取分数线约为86分.
1010=1-Φ(综合运用
6.总体密度曲线是函数f(x)=
12??e?(x??)22?2,x∈R的图象的正态总体有以下命题：
1
(1)正态曲线关于直线x=μ对称； (2)正态曲线关于直线x=σ对称； （3）正态曲线与x轴一定不相交；
（4）正态曲线与x轴一定相交，其中正确的命题是( )
A.(2)(4) B.(1)(4) C.(1)(3) D.(2)(3) 答案：C
7.假设总体服从正态分布N(3,应落在区间____________内. 答案：a∈(-∞,
1)时，如果要拒绝这个统计假设，则在一次试验中的取值a4915］∪［,+∞). 442
8.设随机变量ξ—N(μ,σ)，而且已知P（ξ＜0.5）=0.079 3,P(ξ＞1.5)=0.761 1,求μ
与σ.
解析：因为ξ—N(μ,σ)，所以P（ξ＜0.5）=Φ(1-Φ(
2
0.5???)=0.079 3,即
??0.5)=0.079 3, ???0.5??0.5??0.5所以Φ()=0.920 7，查表得=1.41,易得=0.71.解方程组
??????0.5?1.41????2.515??,得. ?????1.43???1.5?0.71???9.假设某次数学考试成绩ξ服从正态分布N(70,10)，已知第100名的成绩是60分，求第20名的成绩约是多少分？
解析：由题意可知：P(ξ≥60)=1-P(ξ＜60)=1-Φ(
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60?70)=1-Φ(-1)=0.841 3.这说明数10学成绩在60分和60分以上的考生（共100名）在全体考生中占84.13%，因此考生总数大
10020≈119名，故前20名考生在全体考生中的比率大约为：≈0.168 1.设t
0.8413119t?70t?70为第20名考生的成绩，则有P(ξ≥t)=1-Φ()≈0.168 1.从而Φ()≈0.831 9,
1010t?70经查表，得≈0.96，于是第20名学生的数学成绩约为79.6分.
10致为
拓展探究
10.一投资者在两个设资方案中选择一个，这两个投资方案的利润x（万元）分别服从正态
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分布N（8，3）和N（6，2），投资者要求利润超过5万元的概率尽量地大，那么他应选择哪一个方案？
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解析：对第一个方案，有x—N(8,3),于是P（x＞5）=1-P(x≤5)=1-F(5)=1-Φ(
5?8)=1-Φ(-1)=1-［1-Φ(1)］=Φ(1)=0.841 3. 32
对第二个方案，有x—N(6，2),于是P（x＞5）=1-P(x≤5)=1-F(5)=1-Φ(
5?6)= 22
1-Φ(-0.5)=Φ(0.5)=0.691 5.
相比之下，“利润超过5万元”的概率以第一个方案为好，可选第一个方案. 备选习题
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11.设随机变量ξ—N(μ,σ)，且P（ξ≤C）=P(ξ＞C),则C等于( ) A.0 B.σ C.-μ D.μ 解析：由正态曲线的图象关于直线x=μ对称可得答案为D. 答案：D
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12.某厂生产的零件外直径ξ—N（8.0,0.15）(mm)，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为7.9 mm和7.5 mm，则可认为( )
A.上、下午生产情况均为正常 B.上、下午生产情况均为异常
C.上午生产情况正常、下午生产情况异常 D.上午生产情况异常、下午生产情况正常 解析：根据3 σ原则，在8+3×0.15=8.45(mm)与8-3×0.15=7.55(mm)之外时为异常. 答案：C
13.随机变量ξ服从正态分布N（0,1）,如果P（ξ＜1）=0.841 3,求P（-1＜ξ＜0）. 解析：∵ξ—N(0,1),∴P(-1＜ξ＜0)=P(0＜ξ＜1)=Φ(1)-Φ(0)=0.841 3-0.5=0.341 3. 14.将温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内，调节器设定在d℃，液体的温度ξ(单
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位：℃)是一个随机变量，且ξ—N(d,0.5). (1)若d=90°,求ξ＜89的概率；
（2）若要保持液体的温度至少为80℃的概率不低于0.99，问d至少是多少？（其中若η—N(0,1),则Φ（2）=P（η＜2）=0.977 2，Φ(-2.327)=P(η＜-2.327)=0.01）. 解析：(1)要求P（ξ＜89）=F(89)，
∴ξ—N(d,0.5)不是标准正态分布，而给出的是Φ（2），Φ（-2.327），故需转化为标准正态分布的数值. P(ξ＜89)=F(89)=Φ(
89?90)=Φ(-2)=1-Φ(2)=1-0.977 2=0.022 8. 0.5(2)由已知d满足0.99≤P(ξ≥80),即1-P(ξ＜80)≥1-0.01,∴P(ξ＜80)≤0.01.
80?d)≤0.01=Φ(-2.327). 0.580?d∴≤-2.327.
0.5∴Φ(
d≥81.163 5.
故d至少为81.163 5.
15.已知测量误差ξ—N(2,100)(cm)，必须进行多少次测量，才能使至少有一次测量误差的绝对值不超过8 cm的频率大于0.9?
解析：设η表示n次测量中绝对误差不超过8 cm的次数，则η—B(n,p). 其中P=P（|ξ|＜8）=Φ(
?8?28?2)-Φ()=Φ(0.6)-1+Φ(1)=0.725 8-1+0.841 3=0.567
10101.
n
由题意，∵P(η≥1)＞0.9,n应满足P(η≥1)=1-P(η=0)=1-(1-p)＞0.9, ∴n＞
lg(1?0.9)?1??2.75.
lg(1?0.5671)lg0.4329因此，至少要进行3次测量，才能使至少有一次误差的绝对值不超过8 cm的概率大于0.9. 16.某企业准备通过招聘考试招收300名职工，其中正式工280人，临时工20人，报考的人
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高中数学 第二章 随机变量及其分布 2.4 正态分布课后
