世宗即位，命以右都御史总督两广军务。广西上思州贼黄缪纠峒兵劫州县，巅讨擒之。广东新宁、恩平贼蔡猛三等剽掠，众至数万。巅合兵三万余人击新宁诸贼，破巢二百，擒斩一万四千余人，俘贼属五千九百余人。
最新高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案：第二
讲第2节第1课时椭圆的参数方程-含答案
[核心必知]
椭圆的参数方程
中心在原点，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的参数方程是(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是[0，2π)．
[问题思考]
1．中心在原点，焦点在y轴上的椭圆＋＝1的参数方程是什么？
??x＝bcos φ，提示：由得?
y＝asin φ.??即参数方程为(φ为参数)．
2．圆的参数方程中参数θ的意义与椭圆的参数方程中参数φ的意义相同吗？
提示：圆的参数方程：(θ为参数)中的参数θ是动点M(x，y)的旋转角，但在椭圆的参数方程(φ为参数)中的参数φ不是动点M(x，y)的旋转角，它是点M所对应的圆的半径OA＝a(或OB＝b)的旋转角，称为离心角，不是OM的旋转角．
已知椭圆＋＝1有一内接矩形ABCD，求矩形ABCD的最大面积．
嵿遣将出海擒之，获其二舟，贼乃遁。寻召掌南京都察院事，就改工部尚书。嘉靖六年大计京官，拾遗被劾，致仕
1 / 10
世宗即位，命以右都御史总督两广军务。广西上思州贼黄缪纠峒兵劫州县，巅讨擒之。广东新宁、恩平贼蔡猛三等剽掠，众至数万。巅合兵三万余人击新宁诸贼，破巢二百，擒斩一万四千余人，俘贼属五千九百余人。
[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程的求法及应用．解答此题需要设出A点的坐标，然后借助椭圆的对称性即可知B、C、D的坐标，从而求出矩形的面积的表达式．
∵椭圆方程为＋＝1，
∴可设A点的坐标为(10cos α，8sin α)． 则|AD|＝20|cos α|，|AB|＝16|sin α|，
∴S矩形＝|AB|·|AD|＝20×16|sin α·cos α|＝160|sin 2α|.
∵|sin 2α|≤1，
∴矩形ABCD的最大面积为160.
——————————————————
利用椭圆的参数方程求函数(或代数式)最值的一般步骤为： (1)求出椭圆的参数方程；
(2)利用椭圆中的参数表示已知函数(或代数式)； (3)借助三角函数的知识求最值．
1．已知实数x，y满足＋＝1，求目标函数z＝x－2y的最大值与最小值．
解：椭圆＋＝1的参数方程为(φ为参数)． 代入目标函数得
z＝5cos φ－8sin φ＝cos (φ＋φ0)
＝cos (φ＋φ0)(tan φ0＝)． 所以目标函数zmin＝－，zmax＝.
嵿遣将出海擒之，获其二舟，贼乃遁。寻召掌南京都察院事，就改工部尚书。嘉靖六年大计京官，拾遗被劾，致仕
2 / 10
世宗即位，命以右都御史总督两广军务。广西上思州贼黄缪纠峒兵劫州县，巅讨擒之。广东新宁、恩平贼蔡猛三等剽掠，众至数万。巅合兵三万余人击新宁诸贼，破巢二百，擒斩一万四千余人，俘贼属五千九百余人。
已知A，B分别是椭圆＋＝1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求△ABC的重心G的轨迹方程．
[精讲详析] 本题考查椭圆的参数方程及轨迹方程的求法．解答此题需要先求出椭圆的参数方程，即C点的坐标，然后利用重心坐标公式表示出重心G的坐标即可求得轨迹．
由题意知A(6，0)、B(0，3)．由于动点C在椭圆上运动，故可设动点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G的坐标设为(x，y)，由三角形重心的坐标公式可得
6＋0＋6cos θ??x＝3，??x＝2＋2cos θ， ?0＋3＋3sin θ即??y＝1＋sin θ.???y＝3，消去参数θ得到＋(y－1)2＝1.
——————————————————
利用椭圆的参数方程求轨迹，其实质是用θ表示点的坐标，再利用sin2θ＋cos2θ＝1进行消参，本题的解决方法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
2．设F1、F2分别为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右两个焦点． (1)若椭圆C上的点A到F1，F2的距离之和等于4，写出椭圆C的方程和焦点坐标；
(2)设点P是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F1P的中点的轨迹方程．
解：(1)由椭圆上点A到F1，F2的距离之和是4，得2a＝4，
嵿遣将出海擒之，获其二舟，贼乃遁。寻召掌南京都察院事，就改工部尚书。嘉靖六年大计京官，拾遗被劾，致仕
3 / 10
最新高中数学人教A版选修4-4创新应用教学案：第二讲第2节第1课时椭圆的参数方程-含答案
