名师导学高考数学总复习第五章平面向量复数第31讲平
面向量的应用练习理含解析新人教A版
第31讲 平面向量的应用
夯实基础 【p67】
【学习目标】
1．会用向量方法解决某些简单的平面几何问题；
2．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题． 【基础检测】
→→→→2
1．在△ABC中，(BC＋BA)·AC＝|AC|，则△ABC的形状一定是( )
A．等边三角形B．等腰三角形 C．直角三角形D．等腰直角三角形
→→→→2→→→→→→→→
【解析】由(BC＋BA)·AC＝|AC|，得AC·(BC＋BA－AC)＝0，即AC·(BC＋BA＋CA)＝0，→→→→
∴AC·2BA＝0，∴AC⊥BA，∴∠A＝90°.
【答案】C
2．已知点F(1，0)，直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足→→→→
为点Q，且QP·QF＝FP·FQ，则动点P的轨迹C的方程是________．
→→→→
【解析】设点P(x，y)，则Q(－1，y)，则由QP·QF＝FP·FQ，得(x＋1，0)·(2，－y)＝(x－1，y)·(－2，y)，化简得y＝4x.
【答案】y＝4x
π??4π????3．已知向量a＝?sin?α＋?，1?，b＝(4，4cos α－3)，若a⊥b，则sin?α＋?6??3????等于( )
1
2
2
A．－31 B．－ 44
C.
31 D. 44
【解析】由a⊥b得a·b＝0， π??即4sin?α＋?＋4cos α－3＝0，
6??∴23sin α＋6cos α＝3. π?1?∴sin?α＋?＝， 3?4?
4π?π?1??∴sin?α＋?＝－sin?α＋?＝－. 3?3?4??【答案】B
4．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：N)的作用而处于平衡状态，已知F1，
F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2 N和4 N，则F3的大小为________ N.
122
【解析】∵F1＋F2＝－F3，∴|F3|＝|F1＋F2|＝4＋16＋2×2×4×＝28，∴|F3|＝27.
2【答案】27
x＋y≥2，??
5．已知O是坐标原点，点A(－1，1)，若点M(x，y)为平面区域?x≤1，上的一个
??y≤2
→→
动点，则OA·OM的取值范围是____________．
→→
【解析】画出不等式组表示的平面区域(如图阴影部分)，又OA·OM＝－x＋y，取目标函数z＝－x＋y，即y＝x＋z，作斜率为1的一组平行线，当它经过点C(1，1)时，z有最小值，即zmin＝－1＋1＝0；当它经过点B(0，2)时，z有最大值，即zmax＝－0＋2＝2.
1
→→
∴z的取值范围是[0，2]，即OA·OM的取值范围是[0，2]． 【答案】[0，2] 【知识要点】
1．向量在平面几何中的应用
平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长度、夹角等问题．
(1)证明线段平行或点共线问题，包括相似问题，常用共线向量定理：a∥b，且b≠0存在唯一的λ∈R，使a＝λb??x1＝λx2
x1y2－x2y1＝0或?，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)；
?y1＝λy2?
(2)证明垂直问题，常用数量积的运算性质：a⊥b(3)求夹角问题，利用夹角公式． 2．平面向量在物理中的应用
__a·b＝0____x1x2＋y1y2＝0__；
(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解和合成与向量的加法和减法相似，可用向量的知识来解决．
(2)物理学中的功是一个标量，是力F与位移S的数量积，即W＝F·S＝|F|·|S|·cos
θ(θ为F与S的夹角)．
典例剖析 【p67】
考点1 向量在物理中的应用
例1一个重为|G|(单位：N)的物体，在竖直平面内受到两个力F1、F2(单位：N)的作用处于平衡状态，已知F1、F2的大小分别为1 N和2 N，且二力所成的角为120°，则G与F2所成的角的大小为________．
【解析】如图，∵∠AOB＝120°，
1
∴∠A＝60°.
→2→2→2→→→
在△AOC中，|OC|＝|AO|＋|AC|－2|AO|·|AC|·cos 60°＝3，∴|OC|＝3. →2→2→2
于是|OA|＋|OC|＝|AC|，即∠AOC＝90°， ∴G与F2所成的角为150°. 【答案】150°
【点评】用向量法解决物理问题的步骤： ①将相关物理量用几何图形表示出来；
②将物理问题抽象成数学模型，转化为数学问题； ③最后将数学问题还原为物理问题． 考点2 向量在平面几何中的应用
例2在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是BC的中点，E是线段AB上的点，且AE＝2BE，求证：AD⊥CE.
【解析】法一：(基向量法)
→→
设CA＝a，CB＝b，则|a|＝|b|，且a·b＝0， →→→→1→→则CE＝CB＋BE＝CB＋BA＝CB＋
31→→12(CA－CB)＝a＋b. 333→
AD＝CD－CA＝CB－CA＝b－a.
11→?1??12?AD·CE＝?b－a?·?a＋b?＝－a2＋b2＝0，
→→
1→→1
22
→
?2??33?
33
1
→→
所以AD⊥CE，即AD⊥CE. 法二：(坐标法)
以C为坐标原点，CA，CB所在直线分别为x轴，y轴建立直角坐标系．
?24?设CA＝2，则A(2，0)，B(0，2)，D(0，1)，E?，?， ?33?
→→?24?所以AD＝(－2，1)，CE＝?，?，
?33?44→→
所以AD·CE＝－＋＝0，
33→→
所以AD⊥CE，即AD⊥CE.
【点评】用向量法解决几何问题的步骤：
①建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题；
②通过向量运算，研究几何元素之间的关系； ③把运算结果“翻译”成几何关系． 考点3 平面向量在三角函数中的应用
例3已知函数f(x)＝Asin(πx＋φ)的部分图象如图所示，点B，C是该图象与x轴的→→→交点，过点C的直线与该图象交于D，E两点，则→BD＋BE·BE－CE的值为( )
()()
11
A．－1 B．－C.D．2
22
→→→→2→→→→→→【解析】→BD＋BE·BE－CE＝BD＋BE·BC＝2BC·BC＝2|BC|，显然|BC|的长2π→
度为半个周期，周期T＝＝2，∴|BC|＝1，所求值为2.
π
【答案】D
1
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