数学高中人教A版选修2-1课后习题：1.1.2_1.1.3 四种命题 四种命题间的相互关系

1.1.2~1.1.3 四种命题 四种命题间的相互关系

课后篇巩固提升

基础巩固

1.(原创题)命题“若an=2n-1,则数列{an}是等差数列”的逆否命题是( ) A.若an≠2n-1,则数列{an}不是等差数列 B.若数列{an}不是等差数列,则an≠2n-1 C.若an=2n-1,则数列{an}不是等差数列 D.若数列{an}是等差数列,则an≠2n-1 答案B

2.命题“若x>0,则x2≥0”的否命题是( ) A.若x<0,则x2<0 B.若x≤0,则x2<0 C.若x>0,则x2<0 D.若x2<0,则x≥0

解析同时否定条件和结论可得命题“若x>0,则x2≥0”的否命题是:“若x≤0,则x2<0”. 答案B

3.与命题“能被6整除的整数,一定能被3整除”等价的命题是( ) A.能被3整除的整数,一定能被6整除 B.不能被3整除的整数,一定不能被6整除 C.不能被6整除的整数,一定不能被3整除 D.能被6整除的整数,一定不能被3整除

解析根据一个命题的等价命题是其逆否命题来判断. 答案B

4.命题“若x=3,则x2-9x+18=0”的逆命题、否命题与逆否命题中,假命题的个数为( ) A.0 答案C

5.命题“等比数列{an}中没有为零的项”的逆命题

是 . 答案若数列{an}中没有为零的项,则数列{an}为等比数列 6.“在△ABC中,若∠C=90°,则∠A,∠B都是锐角”的否命题为

B.1

C.2

D.3

解析命题“若x=3,则x2-9x+18=0”为真命题,故逆否命题为真命题;逆命题为假命题,故否命题为假命题.

.

答案在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角

7.命题“如果x+y>3,那么x>1且y>2”的逆否命题是 . 解析命题“如果x+y>3,那么x>1且y>2”的逆否命题是“如果x≤1或y≤2,则x+y≤3”. 答案如果x≤1或y≤2,则x+y≤3

π4

8.给定下列命题:①“若α=,则tan α=1”的逆否命题;②若f(x)=cos x,则f(x)为周期函数;③“若a=b,则|a|=|b|”的逆命题;④“若xy=0,则x,y中至少有一个为零”的否命题.其中真命题的序号是 .

解析对于①,因为α=时,tan α=tan=1,所以原命题为真命题.所以①是真命题.显然②是真命题.③的逆命题:“若|a|=|b|,则a=b”是假命题.④的否命题:“若xy≠0,则x,y都不为零”是真命题. 答案①②④

9.已知命题:若m>2,则方程x2+2x+3m=0无实根,写出该命题的逆命题、否命题和逆否命题,并判断真假.

解逆命题:若方程x2+2x+3m=0无实根,则m>2,假命题.

否命题:若m≤2,则方程x2+2x+3m=0有实根,假命题. 逆否命题:若方程x2+2x+3m=0有实根,则m≤2,真命题. 10.已知p3+q3=2,求证:p+q≤2.

思路分析此题不易从已知推导出求证的结论,可转化为证明它的逆否命题:如果p+q>2,那么p3+q3≠2. 证明假设p+q>2,则q>2-p,

根据幂函数y=x3的单调性,得q3>(2-p)3, 即q3>8-12p+6p2-p3,

p3+q3>8-12p+6p2=6[(??-1)2+]≥2, 故p3+q3>2.因此p3+q3≠2.

这与题设p3+q3=2矛盾,从而假设不成立. 故p+q≤2成立.

13π4

π4

能力提升

1.若命题p的逆命题是q,命题q的否命题是r,则p是r的( ) A.逆命题 C.否命题

B.逆否命题 D.以上都不对

解析命题p:“若x,则y”,其逆命题q:“若y,则x”,那么命题q的否命题r:“若??y,则??x”所以p是r的逆否命题,故选B. 答案B

2.给定①②两个命题:①为“若a=b,则a2=b2”的逆否命题;②为“若x=-3,则x2+x-6=0”的否命题,则以下判断正确的是( ) A.①为真命题,②为真命题 B.①为假命题,②为假命题 C.①为真命题,②为假命题 D.①为假命题,②为真命题

解析对于①,原命题显然为真命题,故其逆否命题也为真命题.对于②,其否命题是“若x≠-3,则x2+x-6≠0”,由于当x=2时,x2+x-6=0,故否命题是假命题.所以①为真命题,②为假命题,故选C.

答案C

3.设a、b∈R,原命题“若x>(a+b)2,则x>a2+b2”,则关于其逆命题、否命题、逆否命题的结论正确的是

A.逆命题与否命题均为真命题 B.逆命题为假命题,否命题为真命题 C.逆命题为假命题,逆否命题为真命题 D.否命题为假命题,逆否命题为真命题

解析设a、b∈R,∵原命题“若x>2(a+b)2,则x>a2+b2”,是假命题,

112( )

∴原命题的逆否命题是假命题;

原命题的逆命题:“若x>a2+b2,则x>(a+b)2”,是真命题,

12∴原命题的否命题是真命题.故选A.

答案A

4.原命题为:“若α+β≠2,则sin α≠cos β”,则下列说法正确的是( ) A.与逆命题同为假命题 C.与否命题同为真命题

π

π

B.与否命题同为假命题 D.与逆否命题同为假命题

π

解析该命题的逆否命题是“若sin α=cos β,则α+β=2”,显然是假命题,故原命题也为假命题.而其否命题是“若α+β=2,则sin α=cos β”,显然是真命题,故D项正确. 答案D

5.有下列四个命题:

①“相似三角形周长相等”的否命题; ②“若x>y,则x>|y|”的逆命题; ③“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题;

④“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”的逆否命题. 其中真命题的个数是( ) A.0 C.2

B.1 D.3

解析①“相似三角形周长相等”的逆命题为“周长相等的三角形相似”,不正确,根据逆否命题同真同假,可得其否命题不正确;

②“若x>y,则x>|y|”的逆命题为“若x>|y|,则x>y”,正确;

③“若x=1,则x2+x-2=0”的否命题为“若x≠1,则x2+x-2≠0”,不正确;

④“若b≤0,则方程x2-2bx+b2+b=0有实根”由Δ=4b2-4(b2+b)=-4b≥0,可得原命题正确,其逆否命题也正确.故选C. 答案C

6.已知命题“若1

??-1≤1,

解析因为原命题与逆否命题等价,所以原命题为真命题,因此有{解得1≤m≤2.

??+1≥2,答案[1,2] 7.给出下列命题:

①命题“若b2-4ac<0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实根”的否命题; ②命题“在△ABC中,若AB=BC=CA,则△ABC为等边三角形”的逆命题; ③命题“若a>b>0,则√3a>√3b>0”的逆否命题;

④命题“若m>1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)<0的解集为R”的逆命题. 其中真命题的序号为 .

解析①命题“若b2-4ac<0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实根”的否命题为“若b2-4ac≥0,则方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实根”,为真命题;

②命题“在△ABC中,若AB=BC=CA,则△ABC为等边三角形”的逆命题为“若△ABC为等边三角形,则AB=BC=CA”,为真命题;

③命题“若a>b>0,则√3a>√3b>0”为真命题,故其逆否命题也为真命题;

④“若m>1,则mx2-2(m+1)x+(m-3)<0的解集为R”的逆命题为“若mx2-2(m+1)x+(m-3)<0的解集为R,则m>1”,由于mx2-2(m+1)x+(m-3)<0的解集为R等价于m<-5,故逆命题为假命题. 答案①②③

8.求证:若a2+2ab+b2+2a+2b-3≠0,则a+b≠1. 证明构造命题p:若a2+2ab+b2+2a+2b-3≠0,则a+b≠1.

其逆否命题为:若a+b=1,则a2+2ab+b2+2a+2b-3=0, 下面证明逆否命题为真命题. 因为a+b=1,

所以a2+2ab+b2+2a+2b-3=(a+b)2+2(a+b)-3=12+2-3=0. 即逆否命题成立,所以原命题为真命题.

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