2021年广东省新高考数学总复习第九章《平面解析几何》
高考专题突破五 高考中的圆锥曲线问题
第1课时 范围、最值问题
题型一 范围问题
x2y2x22
例1 (2020·模拟)已知椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)与双曲线－y＝1的离心率互为倒数，且直
ab3线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点． (1)求椭圆C的标准方程；
(2)设不过原点O的直线与椭圆C交于M，N两点，且直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列，求△OMN面积的取值范围． 解 (1)∵双曲线的离心率为c3
∴椭圆的离心率e＝＝.
a2
又∵直线x－y－2＝0经过椭圆的右顶点， ∴右顶点为点(2,0)，即a＝2，c＝3，b＝1， x22
∴椭圆方程为＋y＝1.
4
(2)由题意可设直线的方程为y＝kx＋m(k≠0，m≠0)， y＝kx＋m，??
M(x1，y1)，N(x2，y2)．联立?x22
＋y＝1，??4
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23， 3
消去y，并整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4(m2－1)＝0， 4?m2－1?8km
则x1＋x2＝－，xx＝，
1＋4k2121＋4k2于是y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m) ＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.
又直线OM，MN，ON的斜率依次成等比数列， y1y2k2x1x2＋km?x1＋x2?＋m22故·＝＝k， x1x2x1x28k2m2则－＋m2＝0.
1＋4k2
11
由m≠0得k2＝，解得k＝±.
42又由Δ＝64k2m2－16(1＋4k2)(m2－1) ＝16(4k2－m2＋1)>0，得0 显然m2≠1(否则x1x2＝0，x1，x2中至少有一个为0，直线OM，ON中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾)． 设原点O到直线的距离为d， 1 则S△OMN＝|MN|d 21|m|＝·1＋k2·|x1－x2|· 21＋k2 1 ＝|m|?x1＋x2?2－4x1x2＝－?m2－1?2＋1. 2 故由m的取值范围可得△OMN面积的取值范围为(0,1)． 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 跟踪训练1 (2018·浙江)如图，已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点，抛物线C：y2＝4x上存在不同的两点A，B满足PA，PB的中点均在C上． 第 2 页 共 17 页 (1)设AB中点为M，证明：PM垂直于y轴； (2)若P是半椭圆 x2＋y2 ＝1(x<0)上的动点，求△PAB面积的取值范围． 4 121?y1，y1?，B?y2(1)证明 设P(x0，y0)，A?2，y2. ?4??4?因为PA，PB的中点在抛物线上， 12 y＋x04y＋y0?2?所以y1，y2为方程 ?2?＝4·2， 即y2－2y0y＋8x0－y20＝0的两个不同的实根． 所以y1＋y2＝2y0， 所以PM垂直于y轴． ??y1＋y2＝2y0，(2)解 由(1)可知? 2，?yy＝8x－y?1200 132 2 所以|PM|＝(y21＋y2)－x0＝y0－3x0， 84|y1－y2|＝22?y20－4x0?. 所以△PAB的面积 3221 y0?4x0S△PAB＝|PM|·|y1－y2|＝ 24??32. 因为 y202 x0＋＝1(－1≤x0<0)， 4 2 所以y20－4x0＝－4x0－4x0＋4∈[4,5]， 1510?所以△PAB面积的取值范围是?62，. 4?? 第 3 页 共 17 页
2021年广东省新高考数学总复习第九章《平面解析几何》专题：高考中的圆锥曲线问题第1课时
