人教版高中数学选修2-1教学设计
2.4.1 抛物线及其标准方程
一、教学目标
1.掌握抛物线的定义、几何图形,会推导抛物线的标准方程 2.能够利用给定条件求抛物线的标准方程
3.通过“观察”、“思考”、“探究”与“合作交流”等一系列数学活动，培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力，使学生学会数学思考与推理，学会反思与感悟，形成良好的数学观。并进一步感受坐标法及数形结合的思想
二、教学重点
抛物线的定义及标准方程
三、教学难点
抛物线定义的形成过程及抛物线标准方程的推导（关键是坐标系方案的选择）
四、教学过程 （一）复习旧知
在初中，我们学习过了二次函数y?ax?bx?c，知道二次函数的图象是一条抛物线 例如：（1）y?4x，（2）y??4x的图象（展示两个函数图象）：
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（二）讲授新课 1.课题引入 在实际生活中，我们也有许多的抛物线模型，例如1965年竣工的密西西比河河畔的萨尔南拱门,它就是用不锈钢铸成的抛物线形的建筑物。到底什么样的曲线才可以称做是抛物线？它具有怎样的几何特征？它的方程是什么呢？
这就是我们今天要研究的内容.（板书：课题§2.4.1 抛物线及其标准方程） 2.抛物线的定义
信息技术应用（课堂中展示画图过程） 先看一个实验：
如图：点F是定点，l是不经过点F的定直线，H是l上任意一点，过点H作MH?l，线段FH的垂直平分线m交MH于点M。拖动点H，观察点M的轨迹，你能发现点M满足的几何条件吗？（学生观察画图过程，并讨论）
可以发现，点M随着H运动的过程中，始终有|MH|=|MF|,即点M与定点F和定直线l的距离相等。（也可以用几何画板度量|MH|，|MF|的值） （定义引入）： 我们把平面内与一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线.（板书） 思考？若F在l上呢？（学生思考、讨论、画图） 此时退化为过F点且与直线 l 垂直的一条直线.
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人教版高中数学选修2-1教学设计 3.抛物线的标准方程
从抛物线的定义中我们知道，抛物线上的点M?x,y?满足到焦点F的距离与到准线l的距离相等。那么动点M?x,y?的轨迹方程是什么，即抛物线的方程是什么呢？ 要求抛物线的方程，必须先建立直角坐标系.
问题设焦点F到准线l的距离为p(p?0)，你认为应该如何选择坐标系求抛物线的方程？按照你建立直角坐标系的方案，求抛物线的方程.
（引导学生分组讨论，回答，并不断补充常见的几种建系方法，叫学生应用投影仪展示计算结果）
1 2 3 y2?2px?p2(p?0) y2?2px?p2(p?0) y2?2px(p?0) 注意：1.标准方程必须出来，此表格在黑板上板书。
2.若出现比较复杂建系方案，可以以引入的字母参数较多为由，先排除计算 3.强调P的意义。
4.教师说明曲线方程与方程的曲线：从上述过程可以看到，抛物线上任意一点的坐标都满足方程，以方程的解?x,y?为坐标的点到抛物线的焦点的距离与到准线的距离相等，即方程的解为坐标的点都在抛物线上。所以这些方程都是抛物线的方程.
（选择标准方程）
师：观察4（3）个建系方案及其对应的方程，你认为哪种建系方案使方程更简单？ （学生选择，说明1.对称轴 2.焦点 3.方程无常数项，顶点在原点）
推导过程：取过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，如右图所示，则有F（
设动点M（x,y），由抛物线定义得：(x?化简得y=2px(p＞0)
师：我们把方程y?2px(p?0)叫做抛物线的标准方程，它表示的抛
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pp,0）,l的方程为x=—. 22p2p)?y2?x? 22物线的焦点坐标是?p?p?,0?，准线方程是x??。
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师：在建立椭圆、双曲线的标准方程的过程中，选择不同的坐标系得到了不同形式的标准方程，对于抛物线，当我们选择如图三种建立坐标系的方法，我们也可以得到不同形式的抛物线的标准方程：
（学生分前两排，中间两排，后面两排三组分别计算三种情况，一起填充表格）
图形 标准方程 焦点坐标 （p,0） 2准线方程 y2=2px(p＞0) x=— x=p 2p 2 y2=—2px(p＞0) （— p,0） 2 x2=2py(p＞0) （0, p） 2 y=— p） 2p 2 x2=—2py(p＞0) (三)例题讲解
2 （0,—y=p 2例1（1）已知抛物线的标准方程是y?6x，求它的焦点坐标和准线方程, （2）已知抛物线的焦点是F?0,?2?，求它的标准方程. 解：（1）∵抛物线方程为y=6x ∴p=3，则焦点坐标是（
33，0），准线方程是x=—. 22p=2，∴p=4 22
（2）∵焦点在y轴的负半轴上，且则所求抛物线的标准方程是：x=—8y. 变式训练1：
(1) 已知抛物线的准线方程是x=—2
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1，求它的标准方程. 4(2) 已知抛物线的标准方程是2y+5x=0,求它的焦点坐标和准线方程. 解(1)∵焦点是F（0，3），∴抛物线开口向上，且∴所求抛物线方程是x=12y
(2)∵抛物线方程是2y+5x=0，即y=—2
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p=3，则p=6 255x，∴p=[高考学习网XK] 243
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5858则焦点坐标是F(—,0)，准线方程是x=
例2 点M与点F（4，0）的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1，求点M的轨迹方程. 解：如右图所示，设点M的坐标为（x,y)
由已知条件可知，点M与点F的距离等于它到直线x+4=0的距离.根据抛物线的定义，点M的轨迹是以F（4，0）为焦点的抛物线. ∵
p=4，∴p=8 22
因为焦点在x轴的正半轴上，所以点M的轨迹方程为y=16x.
变式训练2：
在抛物线y=2x上求一点P，使P到焦点F与到点A（3，2）的距离之和最小. 解：如下图所示，设抛物线的点P到准线的距离为|PQ| 由抛物线定义可知：|PF|=|PQ| ∴|PF|+|PA|=|PQ|+|PA|
显然当P、Q、A三点共线时，|PQ|+|PA|最小. ∵A(3,2)，可设P（x0,2)代入y=2x得x0=2 故点P的坐标为（2，2）. (四)小结
1、抛物线的定义； 2、抛物线的四种标准方程；
3、注意抛物线的标准方程中的字母P的几何意义. (五)课后练习
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高中数学选修2-1精品教案3：2.4.1 抛物线及其标准方程教学设计
