珠算教程与应试模拟练习题

1 144×444×225×875=99 999 900 000 69 375×65×154×144=99 999 900 000 7 992×112×125×275×325=9 999 990 000 000 5 328×336×325×275×625=99 999 900 000 000 l 332×572×75×175=9 999 990 000 1 125×175×888×572=99 999 900 000 8 125×675×148×1 232=999 999 000 000 325×225×165×148×56=99 999 900 000 (14) 1 953 125×512=1 000 000 000 1 953 125×1 024=2 000 000 000 1 953 125×1 536=3 000 000 000

1 953 125×2 048=4 000 000 000 1 953 125×2 560=5 000 000 000

1 953 125×3 072=6 000 000 000 1 953 125×3 584=7 000 000 000 1 953 125×4 096=8 000 000 000 1 953 125×4 608=9 000 000 000

第四章珠算除法

除法是乘法的逆运算，是求一个数的若干等分的方法。各种珠算除法原理相同，即被除数包含几倍数就立商几，然后从被除数中减去几倍除数。减去商数倍的除数时，可以累减除数，也可以依

次减去除数各位与商数逐位相乘的乘积。

以上两种方式本书都将予以介绍。由于两种方式运算方法不同，这里不再单独介绍除数非零数字只有一位的一位除法。在实际计算中，一位除法可使用本书所介绍的商除法。

珠算除法有置数、估商、置商和减积(或减除数)几个基本步骤。由于运算中的置商位置不同，珠算除法可分为隔位除法与不隔位除法。本书所介绍的商除法与减除法均属隔位除法，

传统归除方法为不隔位除法，但因归除口诀繁复难记，并且不能避免使用顶底悬珠，本书未加采用。 在例题表式说明的运算结果栏中，被除数用汉字数字表示，商数用阿拉伯数字表示。 第一节 商除法

珠算商除法与笔算除法相似，是利用乘法和减法进行除法运算的。运算时，每求一位商数，都是先进行估商，然后从被除数中减去商与除数的乘积。求出第一位商数以后，继续用同样方法逐档求商，直至除尽或达到所要求的精确度为止。

商除方法简单，易于理解，由于笔算除法的普及，珠算商除法可以在很短时间内学会，熟练之后，速度也很容易提高。 一、基本步骤

1．置数

从算盘左端第三档起拨上被除数，默记除数。使用小算盘，被除数也可以从中间一个带计位点的档次拨起。

2．估商．

所谓估商，就是用心算估计的方法确定被除数中含有几倍除数。包含有几倍除数，就试商几。 在除数只有一位非零数字的一位除法中，即用除数的非零数字与被除数第一位数字进行比较，如被除数小于除数，则与被除数第一、二两位数字进行比较。

在除数非零数字为二位以上的多位除法中，为了估商迅速，可以不用整个除数与被除数比较，而只用对商数影响较大的除数前两位数字，与被除数的前两位或前三位数字进行比较。

3．置商位置

商除为珠算的隔位除法。当被除数与除数位数相等的前几位数字，大于或等于除数时，在被除

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数左边第二档“隔档置商”；反之，当小于除数时，在被除数左边第一档上“前档置商”。 这一步骤可以简单地归纳为：“数大隔商，数小前商”。 4．减积档次

估出的试商置于规定位置后，一位除法即可将商数与除数的乘积从被除数中减去；多位除法即可用商数与除数的各位数字由高至低依次相乘，并同时从被除数中依次减去乘积。减积的档次是：除数是第几位，它与商数乘积的十位数，就从商数右面第几档减去。

[例]728÷700=1.04(见表4—1) 表4—1

运算步骤 数大隔商，试商1 乘减：一七07 数小前商，试商4 乘减：四七28 定位：(按公式定位法，下同)

1 1 1 1 0 0 0 0 运算结果 七 七 0 4 4 二 二 二 二 0 八 八 八 八 0 3位-3位+1位=1位

[例二]26 125.47÷4 207=6.21 (见表4—2) 表4—2

运算步骤 数小前商，试商6 乘减：六四24 六二122 六七42 数大隔商，试商2 乘减：二四08 二二04 二七14 数大隔商，试商1 乘减：一四04 一二02 一七07 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 二 二 0 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2 运算结果 六 六 二 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 一 一 一 九 八 八 0 0 0 0 0 0 0 二 二 二 二 八 八 八 四 四. 四. 0 0 0 五 五 五 五 三 三 三 三 二 二 二 0 0 四 四 四 四 四 四 四 四 ○ ○ ○ 0 0 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 七 0 定位：5位-4位=1位 二、补商退商

当估出的试商正确时，乘减后的余数必小于除数并大于等于0。这时说明商的第一位数字已经求出来了，余数等于0则已除尽，大于0则可以继续求商的第二位数字。

但除数位数较多时，估商不易一次准确，需要用补商或退商的办法进行调整。

若余数大于等于除数，说明试商小了，应将试商加一，即补商，然后在余数中再减去一遍除数。 若乘减过程中发现不够减(乘积大于被除数)，说明试商大了，应将试商减一，即退商，并在余数中重新加上已被乘减过的那几位除数，然后再用减一后的正确商数与其余几位除 数继续相乘，将乘积从被除数中减去。 [例] 176 136÷358=492(见表4—3) 表4-3

运算步骤

运算结果 一 七 六 一 三 六 22

数小前商，试商5 乘减：五三15 五五25 退商1，隔位加还35 乘减：四八32 数小前商，试商8 乘减：八三24 八五40 八八64 补商1 隔位减358 数大隔商，试商2 乘减：二三06 二五10 二八16 定位：6位-3位=3位 5 5 5 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 一 0 0 0 0 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 七 二 0 三 三 三 0 0 0 0 0 2 2 2 2 六 六 一 六 二 二 八 四 四 四 0 0 0 0 0 一 一 一 一 九 九 九 九 二 二 七 七 一 0 0 三 三 三 三 三 三 三 三 九 九 一 一 一 一 0 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 六 0 中途退商是在乘减过程中发现不够减时进行的，因此需要记住此时已经乘减到了除数的哪一位，然后加还一倍已乘减过的几位除数，并用新得商数继续乘减。

由此可见，退商的处理比补商要复杂，应尽量避免中途退商。因此，估商的原则应是“估商宜偏小”，也就是说，宁肯把商估得偏小造成补商，也不要估商偏大造成退商。 三、估商的简便方法

商除法的关键环节是估商，估商若能迅速，计算速度就能 大大提高。

在多位除法中，估商时不用整个除数与被除数比较，而用除数的前两位数字与被除数的前两位数字或前三位数字比较，虽然已经简化了工作，估商也可以比较准确，但需要较高的心算基础，应用仍不够简便。

如能只用除数首位数字估商，即用除数第一位数字与被除数第一或第一、二两位数字比较，则可进一步简化估商的方法。但是，由于不考虑除数第二位以下非零数字的影响，当估商不能一次准确时，试商必然偏大，造成退商，使运算复杂化。

为了使运算中只出现补商不出现退商，在多位除法中可以采用“除数首位加一”估商法，即在心算估商时，用除数第一位数字加“1”与被除数比较。这样，当估商不能一次准确时，一定是试商偏小，造成补商，能够很方便地进行处理。 ． [例一]708.54÷29 400=0.024 1(见表4—4)

表4—4 运算步骤 数大隔商，试商2（用3与7比较而得） 乘减：二二04 二九18 二四08 数小前商，试商4（用3与12比较而得） 乘减：四二08 四九36 四四16 数大隔商，试商1

运算结果 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 4 4 4 4 4 七 七 三 一 一 一 0 0 0 1 ○ ○ ○ 二 二 二 四 0 0 0 八 八 八 八 ○ ○ ○ 四 二 二 五 五 五 五 五 五 五 五 九 九 四 四 四 四 四 四 四 四 四 四 23

乘减：一二02 2 4 1 0 0 九 四 一九09 2 4 1 0 0 0 四 一四04 2 4 1 0 0 0 0 定位：3位-5位+1位=-1位

[例二]2952.35÷0.685=4310(见表4—5) 表4-5

运算步骤 运算结果 二 九 五 二 三 五 数小前商，试商4（用7与29比较而得） 4 二 九 五 二 三 五 乘减：四六24 4 0 五 五 二 三 五 四八32 4 0 二 三 二 三 五 四五20 4 0 二 一 二 三 五 数小前商，试商3（用7与21比较而得） 4 3 二 一 二 三 五 乘减：三六18 4 3 0 三 二 三 五 三八24 4 3 0 0 八 三 五 三五15 4 3 0 0 六 八 五 数大隔商，商1 4 3 1 0 六 八 五 乘减：一六06 4 3 1 0 0 八 五 一八08 4 3 1 0 0 0 五 一五05 4 3 1 0 0 0 0 定位：4位-0位=4位 [例三] 56 638.75÷6 473=8075(见表4—6) 表4-6

运算步骤 运算结果 五 六 六 三 八 七 五 数小前商，试商8（用7与56比较而得） 8 五 六 六 三 八 七 五 乘减：八六48 8 0 八 六 三 八 七 五 八四32 8 0 五 四 三 八 七 五 八七56 8 0 四 八 七 八 七 五 八三24 8 0 四 八 五 四 七 五 数小前商，试商6（用7与48比较而得） 8 6 四 八 五 四 七 五 乘减：六六36 8 6 一 二 五 四 七 五 六四24 8 6 一 ○ 一 四 七 五 六七42 8 6 0 九 七 二 七 五 六三18 8 6 0 九 七 ○ 九 五 补商1 8 7 0 九 七 ○ 九 五 隔位减6 473 8 7 0 三 二 三 六 五 数小前商，试商4（用7与32比较而得） 8 7 4 三 二 三 六 五 乘减：四六24 8 7 4 0 八 三 六 五 四四16 8 7 4 0 六 七 六 五 四七28 8 7 4 0 六 四 八 五 四三12 8 7 4 0 六 四 七 三 补商1 8 7 5 0 六 四 七 三 隔位减6 473 8 7 5 0 0 0 0 0 定位：5位-4位=1位

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“除首加一”估商法把用多位除数估商简化为用一位除数估商，而且避免了退商，使得估商简便迅速，便于熟练掌握。但是运算时也应注意，如果除数简单，可以用心算方法直接估出

正确商数时，就应直接估商，以减少补商次数，加快运算速度。如除数是11，12，13，14，15或21，22，23，24，25等数字时，就应直接用两位数字估商。另外，有时虽然除数位数较多，但第二位数字很小或为o，而被除数第二位数字或第三位数字(前档置商时)较大，也可以只按除数首位数字估商，而不必再加一。如6 864÷312；26 746．5÷8 105；30 932÷703；385÷5007等等。总之，熟练之后，应能灵活运用估商方法。 商除法练习

(1)5 676÷6=946 (5)725 169÷3 009=241 (2)7 224÷0.3=24 080 (6)18 328÷232=79 (3)156 208÷52=3 004 (7)27 574.74÷998=27.63 (4)10.44÷290=0.036 (8)4 360．16÷9.52=458 (9)240 588+6 520=36.9 (13)17 960.96÷3 508=5.12 (10)5 008.5÷7 420=0.675 (14)57 585．22÷67.43=854 (11)207.93+0.478=435 (15)187 819．08÷5 394=34.82 (12)75.18÷895=0．084 (16)7 857 421÷2 389=3 289 (精确到0．0001)

(17)0.638÷0.76=0.839 5 (19)2 650.3÷27.4=96．726 3 (18)3 204÷3 589=0.892 7 (20)97.88÷32.53=3．008 9 第二节 减除法

减除法以减代除，同时也利用加法来简化运算。它是在传统扒皮除法的基础上丰富完善起来的。这种方法在估商之后用减除数的方法进行运算，商为几，就从被除数中减去几倍的

除数。但也并非商为几都固定使用连续相减几遍的方法，而是根据商数的不同采用不同的减除数方法，以求简捷提高效率。商数无非是由0与1～9这样十种数字所组成。0无须运算。

在其余的数字中，商数为1，2，5，9时各有其简便运算方法，而商数为3，4，6，7，8时也都可以在1，2，5，9运算方法的基础上形成各自的运算方法。因此，这种方法也称为“1259”除法。学习减除法，就是学习针对不同商数使用不同的简便运算方法。

减除法简单易学，节省脑力，对于擅长加减的人最为适用。在熟练掌握这种方法的各种技巧之后，可使运算简便，尤其是在除数的数位较多时，使用此法效率高，差错率低。

一、基本步骤 1．置数

可从算盘左端第三档起拨上被除数，默记除数。使用小算盘，被除数也可以从中间一个带计位点的档次拨起。

2．估商

被除数中含有几倍除数，商数就为几。在实际运算中，若被除数与除数前两位数字并不相等，只取被除数前两位数字或因小于除数而取前三位数字，与除数的前两位数字比较即可；反之，则需顺序增加位数来比较。

商数为1，2，5，9时，应能通过观察直接估出，商数为其他数字时，可在运算过程中加以判断确定。

3．置商

此法为珠算的隔位除法。用被除数与除数的第一位数字相比较，如相等用下一位数字相比较，当被除数大于等于除数时，在被除数左边第二档上“隔档置商”；小于除数时，在左边第一档上“前档置商”，即“数大隔商、数小前商”。 4．减除

商为几，就应隔位减几倍除数。但为了简化运算步骤，当商数不同时，减除数采用不同的方法。 二、不同的减除方法

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