半径。直线与圆相切可以有两种方式转化(1)几何条件：圆心到直线的距离等于半径(2)代数条件：直线与圆的方程组成方程组有唯一解,从而转化成判别式等于零来解。
例6．（2024江西理，16）已知圆M：（x＋cos?）2＋（y－sin?）2＝1，直线l：y＝kx，下面四个命题：
（A） 对任意实数k与?，直线l和圆M相切； （B） 对任意实数k与?，直线l和圆M有公共点；
（C） 对任意实数?，必存在实数k，使得直线l与和圆M相切； （D）对任意实数k，必存在实数?，使得直线l与和圆M相切。 其中真命题的代号是______________（写出所有真命题的代号）
解析：圆心坐标为（－cos?，sin?） d＝
|－kcos?－sin?|1＋k＝|sin（?＋?）|?1故选（B）（D）
2＝1＋k2|sin（?＋?）|1＋k2 点评：该题复合了三角参数的形式，考察了分类讨论的思想。 题型4：直线与圆综合问题
例7．（1999全国，9）直线
3x+y－23=0截圆x2＋y2＝4得的劣弧所对的圆心角为（ ）
A．
?6 B．
?4 C．
?3 D．
?2
解析：如图所示：
??3x?y?23?0由?
22??x?y?4消y得：x2－3x+2=0，∴x1=2，x2=1。 ∴A（2，0），B（1，
23）
2∴|AB|=(2?1)?(0?3)=2 又|OB|＝|OA|=2，
∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=
图 ?3，故选C。
点评：本题考查直线与圆相交的基本知识，及正三角形的性质以及逻辑思维能力和数形结
合思想，同时也体现了数形结合思想的简捷性。如果注意到直线AB的倾斜角为120°，则等腰△OAB的底角为60°.因此∠AOB=60°.更加体现出平面几何的意义。
例8．（2024全国2，16）过点（1，2）的直线l将圆(x－2)2＋y2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l的斜率k＝ 。
22(1,2)(x?2)?y?4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小l解析：过点的直线将圆
时，直线l的斜率
k?22
22(1,2)(x?2)?y?4的内部, 圆心为O(2,0)要使得劣解析(数形结合)由图形可知点A在圆
弧所对的圆心角最小,只能是直线l?OA，所以题型5：对称问题
kl??112???kOA2。 ?2点评：本题主要考察数形结合思想和两条相互垂直的直线的斜率的关系，难度中等。 例9．（89年高考题）一束光线l自A（－3，3）发出，射到x轴上，被x轴反射到⊙C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0上。
(Ⅰ) 求反射线通过圆心C时，光线l的方程； (Ⅱ) 求在x轴上，反射点M的范围．
解法一：已知圆的标准方程是
(x－2)2+(y－2)2=1，它关于x轴的对称圆的方程是(x－2)2+(y+2)2=1。设光线L所在的直线的方程是y－3=k(x+3)（其中斜率k待定），由题设知对称圆的圆心C′（2，-2）到这条直线的距离等于1，即d=
|5k?5|1?k2=1。整理得 12k2+25k+12=0，解得k= －
34或k= －。故所求直43线方程是y－3=－
44(x+3)，或y－3= －(x+3)，即3x+4y+3=0或4x+3y+3=0。 33
解法二：已知圆的标准方程是(x－2)2+(y－2)2=1，设交线L所在的直线的方程是
3(1?k)，0），k3(1?k)因为光线的入射角等于反射角，所以反射光线L′所在直线的方程为y= －k(x+)，即
ky-3=k(x+3)（其中斜率k待定），由题意知k≠0，于是L的反射点的坐标是（－y+kx+3(1+k)=0。这条直线应与已知圆相切，故圆心到直线的距离为1，即d=下同解法一。
点评：圆复合直线的对称问题，解题思路兼顾到直线对称性问题，重点关注对称圆的几何要素，特别是圆心坐标和圆的半径。
例10．已知函数f(x)=x2－1(x≥1)的图像为C1，曲线C2与C1关于直线y=x对称。 （1）求曲线C2的方程y=g(x)；
（2）设函数y=g(x)的定义域为M，x1，x2∈M，且x1≠x2，求证|g(x1)－g(x2)|<|x1－x2|; （3）设A、B为曲线C2上任意不同两点，证明直线AB与直线y=x必相交。 解析：（1）曲线C1和C2关于直线y=x对称，则g(x)为f(x)的反函数。 ∵y=x2－1，x2=y+1，又x≥1，∴x=
|5k?5|1?k2=1。以
y?1，则曲线C2的方程为g(x)= x?1(x≥0)。
（2）设x1，x2∈M，且x1≠x2，则x1－x2≠0。又x1≥0， x2≥0， ∴|g(x1)－g(x2)|=|
x1?1 －x2?1|=
x1?x2x1?1?x2?1≤
x1?x22<|x1－x2|。
（3）设A(x1，y1)、B（x2，y2）为曲线C2上任意不同两点，x1，x2∈M，且x1≠x2，
由（2）知，|kAB|=|
y1?y2|g(x1)?g(x2)||=<1
x1?x2|x1?x2|入
∴直线AB的斜率|kAB|≠1，又直线y=x的斜率为1，∴直线AB与直线y=x必相交。 点评：曲线对称问题应从方程与曲线的对应关系手来处理，最终转化为点的坐标之间的对应关系。
题型6：轨迹问题
例11（．2024山东理，22）已知动圆过定点?与直线x??ByAMo且
?p?,0?，2??Nxp相切，其中p?0。 2（I）求动圆圆心C的轨迹的方程；
p（II）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，x??2线OA和OB的倾斜角分别为?和?，当?,?变化且???为定值?(0????)时，证明直线AB恒过定
并求出该定点的坐标。
解析：（I）如图，设M为动圆圆心，??p?F?,0??2?直点，
p?p?,0?为记为F，过点M作直线x??的垂线，
2?2?p的距离相等，由抛2垂足为N，由题意知：MF?MN即动点M到定点F与定直线x??物线的定义知，点M的轨迹为抛物线，其中F?程为y?2px(P?0)；
2p?p?,0?为焦点，x??为准线，所以轨迹方
2?2?（II）如图，设A?x1,y1?,B?x2,y2?，由题意得x1?x2（否则?????）且x1,x2?0所
2y12y2,x2?以直线AB的斜率存在，设其方程为y?kx?b，显然x1?，将y?kx?b与2p2py2?2px(P?0)联立消去x，得ky2?2py?2pb?0由韦达定理知
y1?y2?2p2pb① ,y1?y2?kk（1）当???2时，即?????2时，tan??tan??1所以
y1y2??1,x1x2?y1y2?0，x1x22y12y22pb2yy?4p?yy?0所以由①知：?4p2所以。因此直线AB的方程可表示为121224pky?kx?2Pk，即k(x?2P)?y?0，所以直线AB恒过定点??2p,0?。
（2）当???2时，由?????，
得tan??tan(???)=
tan??tan?2p(y1?y2)=，
1?tan?tan?y1y2?4p22p2p，所以b??2pk，
b?2pktan?2p2p??2pk即k(x?2p)??y?tan?tan?????0，?将①式代入上式整理化简可得：tan??此时，直线AB的方程可表示为y?kx?所以直线AB恒过定点??2p,??2ptan???。 ?时，直线AB恒过定点??2p,0?，当??所以由（1）（2）知，当???2?2时直线AB恒
过定点??2p,??2ptan???。 ?半切试
点评：该题是圆与圆锥曲线交汇题目，考察了轨迹问题，属于难度较大的综合题目。 例12．（2024江苏，19）如图，圆O1与圆O2的径都是1，O1O2?4. 过动点P分别作圆O2、圆O2的线PM，，使得PM?2PN. N分别为切点）PN（M，建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程。
解析：以O1O2的中点O为原点，O1O2所在直线
x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则O1(?2，0)，O2(2，0)。
为
2024高考数学第一轮复习单元讲座 直线、圆的位置关系
