2020高考数学第一轮复习单元讲座 直线、圆的位置关系
一．课标要求：
1．能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；
2．探索并掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离； 3．能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系； 4．能用直线和圆的方程解决一些简单的问题；
5．在平面解析几何初步的学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想。
二．命题走向
本讲考察重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中等，一般以选择题的形式出现，有时在解析几何中也会出现大题，多考察其几何图形的性质或方程知识。
预测2020年对本讲的考察是：
（1）一个选择题或一个填空题，解答题多与其它知识联合考察；
（2）热点问题是直线的位置关系、借助数形结合的思想处理直线与圆的位置关系，注重此种思想方法的考察也会是一个命题的方向；
（3）本讲的内容考察了学生的理解能力、逻辑思维能力、运算能力。
三．要点精讲
1．直线l1与直线l2的的平行与垂直 （1）若l1，l2均存在斜率且不重合： ①l1//l2? k1=k2；②l1?l2? k1k2=－1。 （2）若l1:A1x?B1y?C1?0, 若A1、A2、B1、B2都不为零。
①l1//l2?l2:A2x?B2y?C2?0
A1B1C1； ??A2B2C2②l1?l2? A1A2+B1B2=0； ③l1与l2相交?A1B?1； A2B2A1B1C1； ??A2B2C2④l1与l2重合?注意：若A2或B2中含有字母，应注意讨论字母=0与?0的情况。两条直线的交点:两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数。 2． 距离
（1）两点间距离：若A(x1,y1),B(x2,y2)，则AB?(x2?x1)2?(y2?y1)2
特别地：AB//x轴，则AB?|x1?x2|、AB//y轴，则AB?|y1?y2|。
（2）平行线间距离：若l1:Ax?By?C1?0,l2:Ax?By?C2?0， 则：d?C1?C2A?B22。注意点：x，y对应项系数应相等。
（3）点到直线的距离：P(x?,y?),l:Ax?By?C?0，则P到l的距离为：
d?Ax??By??CA?B22
3．直线Ax?By?C?0与圆(x?a)?(y?b)?r的位置关系有三种
222（1）若d?Aa?Bb?CA?B22，d?r?相离???0；
（2）d?r?相切???0； （3）d?r?相交???0。
?Ax?By?C?0还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组?2求解，通过解的2?x?y?Dx?Ey?F?0个数来判断：
（1）当方程组有2个公共解时（直线与圆有2个交点），直线与圆相交； （2）当方程组有且只有1个公共解时（直线与圆只有1个交点），直线与圆相切； （3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点），直线与圆相离；
即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C到直线l的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：
相切?d=r?Δ＝0； 相交?d
设两圆圆心分别为O1，O2，半径分别为r1，r2，O1O2?d。
d?r1?r2?外离?4条公切线；
d?r1?r2?外切?3条公切线；
r1?r2?d?r1?r2?相交?2条公切线；
d?r1?r2?内切?1条公切线； 0?d?r1?r2?内含?无公切线；
外离 外切
相交 内切 内含
判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决。
四．典例解析
题型1：直线间的位置关系
例1．（1）（2020北京11）若三点 A（2，2），B（a，0），C（0，b）(ab?0)共线，则, 的值等于 。
（2）（2020上海文11）已知两条直线l1:ax?3y?3?0,l2:4x?6y?1?0.若l1//l2，则
11?aba?___ _。
解析：（1）答案：
1；（2）2。 2点评：（1）三点共线问题借助斜率来解决，只需保证kAB?kAC；（2）对直线平行关系的判断在一般式方程中注意系数为零的情况。 例2．（1）（2020福建文，1）已知两条直线y?ax?2和y?(a?2)x?1互相垂直，则a等于（ ）
A．2 B．1 C．0 D．?1
（2）（2020安徽理，7）若曲线y?x的一条切线l与直线x?4y?8?0垂直，则l的方程为（ ）
A．4x?y?3?0 B．x?4y?5?0 C．4x?y?3?0 D．x?4y?3?0
解析：（1）答案为D；（2）与直线x?4y?8?0垂直的直线l为4x?y?m?0，即y?x3444在某一点的导数为4，而y??4x，所以y?x在(1，1)处导数为4，此点的切线为
4x?y?3?0，故选A。
点评：直线间的垂直关系要充分利用好斜率互为负倒数的关系，同时兼顾到斜率为零和不存在两种情况。 题型2：距离问题
例3．（2002京皖春文，8）到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ） A．x－y=0 C．|x|－y=0
B．x+y=0 D．|x|－|y|=0
解析：设到坐标轴距离相等的点为（x，y） ∴|x|＝|y| ∴|x|－|y|＝0。答案：D
点评：本题较好地考查了考生的数学素质，尤其是考查了思维的敏捷性与清晰的头脑，通过不等式解等知识探索解题途径
例4．（2002全国文，21）已知点P到两个定点M（－1，0）、N（1，0）距离的比为点N到直线PM的距离为1．求直线PN的方程。
解析：设点P的坐标为（x，y），由题设有
2，
|PM|?2，
|PN|即
(x?1)2?y2?2?(x?1)2?y2。
①
整理得 x2+y2－6x+1=0
因为点N到PM的距离为1，|MＮ|＝2， 所以∠PMN＝30°，直线PM的斜率为±
3， 3直线PM的方程为y=±
3（x＋1） ② 3将②式代入①式整理得x2－4x＋1＝0。 解得x＝2＋
3，x＝2－3。
3，1＋3）或（2－3，－1＋3）；（2＋3，－1－3）
代入②式得点P的坐标为（2＋或（2－
3，1－3）。
直线PN的方程为y=x－1或y=－x+1。
点评：该题全面综合了解析几何、平面几何、代数的相关知识，充分体现了“注重学科知识的内在联系”.题目的设计新颖脱俗，能较好地考查考生综合运用数学知识解决问题的能力.比较深刻地考查了解析法的原理和应用，以及分类讨论的思想、方程的思想。该题对思维的目的性、逻辑性、周密性、灵活性都进行了不同程度的考查.对运算、化简能力要求也较高，有较好的区分度。
题型3：直线与圆的位置关系
例5．（1）（2020安徽文，7）直线x?y?1与圆x?y?2ay?0(a?0)没有公共点，
则a的取值范围是（ ）
A．(0,2?1) B．(2?1,2?1) C．(?2?1,2?1) D．(0,2?1) （2）（2020江苏理，2）圆(x?1)2?(y?3)2?1的切线方程中有一个是（ ） A．x－y＝0 B．x＋y＝0 C．x＝0 D．y＝0
解析：（1）解析：由圆x?y?2ay?0(a?0)的圆心(0,a)到直线x?y?1大于a，且
2222a?0，选A。
点评：该题考察了直线与圆位置关系的判定。
22（2）直线ax+by=0与(x?1)?(y?3)?1相切，则|a?b3|?1，由排除法， 2选C，本题也可数形结合，画出他们的图象自然会选C,用图象法解最省事。
点评：本题主要考查圆的切线的求法，直线与圆相切的充要条件是圆心到直线的距离等于
2020高考数学第一轮复习单元讲座 直线、圆的位置关系
