首先，数学知识或方法之间具有广泛的关联．除了我们前面说过的数学会如藤蔓一样生长的关联以外，不少数学习题具有多样化的求解路径，一题多解成为解数学题的一个重要特点．下面这道习题解法的“殊途同归”正体现了数学方法之间的关联．请看教学故事：
教学故事1：
殊途何以同归？ －－一次求k值问题的思考
这是一次习题讲评课上有一道求k值问题，不少学生从不同的角度给出了解答，但在我的追问下，却知道了这些解法为什么能“殊途同归”，先看例题：
例
?3x＋2y＝2k， ①
若方程组?的解x，y满足x＋y＝－5，求k的值．
?5x＋4y＝k＋3． ②
生1：①×5，得15x＋10y＝10k. ②×3，得15x＋12y＝4k＋9. ……
她还没有做完，我就问：“谁有不同的解法？”生2、生3示意有不同的解法． 生2：解：②－①，得 2x＋2y＝－k＋3 2(x＋y)＝－k＋3 －10＝－k＋3 k＝13.
(生2做出结果时，生1还没做好)
?3x＋2y＝2k，?x＋2x＋2y＝2k，
?生3：将变形为? ?5x＋4y＝k＋3．?x＋4x＋4y＝k＋3．
∵x＋y＝－5，
?x－10=2k，
∴? ?x－20=k＋3．
解得k＝13.
?x－10=2k，
我又追问几个学生，是否知道生3所写“?”中的10，20从哪儿来？好多
?x－20=k＋3．
同学都目瞪口呆．
问到科代表时，她正好想通，说：“生3好像是整体代入！”
?x＋2x＋2y＝2k，?x＋2(x＋y)＝2k，接着她把?进一步变形为?
?x＋4x＋4y＝k＋3．?x＋4(x＋y)＝k＋3．
至此，大家都理解了生3的解法．
最后，我又问大家：“为什么这道含待定系数问题会有这么多的解法，而且不同的解法解题速度差异如此之大？”
没有人能回答上来．我提示：大家发现吗？把x＋y＝－5与前面的方程组联立起来是
??3x＋2y＝2k，?5x＋4y＝k＋3， ??x＋y＝－5．
这是一个什么方程组呢?
到此，很多学生都发现了：噢!原来是一个三元一次方程组，三元一次方程组的消元策略确实很多．
说明：这道待定系数法问题解法的多样性，在本质上是三元一次方程组消元策略的多样所致．”数学是广泛联系的，此段解题教学故事看来也是一例．
其次，数学与生活之间的关联．众所周知，数学来源于生活，服务于生活．数学学习时我们总是喜欢从一个生活情境引入，就是基于数学与生活之间的关联视角．比如四边形新课学习时，常常用如下的一组生活图片引入新课：
图1.2.1：高压线塔 图1.2.2：学校大门 图1.2.3：某仓库大
门背面
这组图片分别体现了三角形的稳定性（图1.2.1）、四边形不稳定性（图1.2.2），而图1.2.3中由于四边形的不稳定性，太大了容易变形，通过添加一根斜着的木条转化利用三角形的稳定性来防止大门变形．从另一个关联角度看，图1.2.3中是四边形向三角形转化的典型策略，体现了“你中有我、我中有你”的思辨意境，而这也是四边形问题求解时一个重要的转化方向．
还有，数学与其他学科之间的关联．数学是其他科学的基础，不仅提供了大量的工具，更重要的提供了研究方法、思维方式，学习时注重与其他学科之间关联也是很重要的．比如，在一次七年级活动课的最后我曾即兴点评，体现了数学与其他学科之间的关联，请看：
教学故事2：
一副三角尺可画哪些特殊角？
（这是一次数学活动课上，“用一副三角尺可画哪些特殊角”的活动片断） 生4：将三角板拼成下图（如图1.2.4），得到两个特殊角度75°，15°．
图1.2.4
生5：…… 生6：……
不到一分钟，同学们众说纷纷，报出了很多特殊角度．
师：请认真思考这个问题，尽可能的弄全所有可能用一幅三角尺画出的特殊角度． 生7：我画出如下一些角度（按由小到排列）：
15°，60°，75°，105°，120°，135°，165° ···························································· ① 生5：我比他多，画出了下面这些：
15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，165° ······································ ② 师：很好，这组角度值好像有规律？ （学生独立思考30秒后） 生8：都是15°的倍数．
师：猜想有意义！想一想，在平角180°以内15的倍数只有你画的这些角度吗（见②）？ 生9：按由小到大排列后，还漏掉一个150°！这个度数能画出来吗？我看看前面有个60°和90°，再一组合就行了！
这样终于排出如下一组：
15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165° ····························· ③ 它们的规律：都是15°的倍数．
师：很好！首先要指出的是，在角度数组③的画图可能有不同的组合方式，并不惟一．更重要的是，从上面的活动中发现，数学的探究与发现并不是一帆风顺的，实验、直觉、归纳、验证往往需要互补，哪一个环节都不可缺少，这样才会提升自己的数学素养、科学素养．事实上，很多科学上重要的发现与发明，都有类似的经历．举两个方向的例子，其一，作为数学中地位独特的“数论”来说，费尔马大定理、孪生素数问题、歌德巴赫猜想、圆内整点问
题、完全数问题……等问题都是数学家们靠着非凡的直觉先有猜想再行验证、证明（有些证明历经几百年）；其二，同学们在九年级将要学到 “元素周期表”，俄国科学家门捷列夫在1869年提出来的，后来更多的科学家正是用此表来寻找新型元素及化合物．
【原创练习】
?x＋y＝5，
1.已知x，y满足方程组?
?x＋2y＝4．
（1）将两方程相减直接得x－y＝ ； x－y
（2）求代数式的值．
x＋y
2．如图，将一副三角尺按不同位置摆放：
①
②
③
④
（1）其中∠α与∠β一定相等的摆放方式有（ ） A．1种
B．2种
C．3种
D．4种
（2）你发现上述摆放方式中的∠α与∠β还有怎样的数量关系？ 3.【倾听理解】
?2x＋3y=15m，
例 解关于x，y的方程组?(m为常数)
?5x－3y=－m．
??x=2m，
老师先安排同学到黑板上求解出该方程组的解为?11
y=m．?3?
师：我们将问题变式如下：
?2x＋3y－15m =0，
变式题：关于x，y的方程组?(m为常数)，试分析x，y的关系．
?5x－3y＋m =0．
【参与解题】
请结合课堂情境，求解“变式题”．
数学方法之间的关联.doc
