数列基础知识点和方法归纳
S?S?nd，
S奇?an. 1. 等差数列的定义与性质
定义：an?1?an?d（d为常数），an?a1??n?1?d 等差中项：x，A，y成等差数列?2A?x?y
前n项和S?a1?an?nn?2?na?n?n?1?12d 性质：?an?是等差数列
（1）若m?n?p?q，则am?an?ap?aq；
（2）数列?a2n?1?,?a2n?,?a2n?1?仍为等差数列，Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等差数列，公差为n2d；
（3）若三个成等差数列，可设为a?d，a，a?d （4）若an，bn是等差数列，且前n项和分别为Sn，Tn，则
amS2m?1b? mT2m?1（5）?an?为等差数列?Sn?an2?bn（a，b为常数，是关于n的常数项为0的二次函数）
Sn的最值可求二次函数S2n?an?bn的最值；或者求出?an?中的正、负分界项，
即：当a?0，d?0，解不等式组??an?01可得S?an达到最大值时的n值.
n?1?0当ad?0，由??an?01?0，可得S?an达到最小值时的n值.
n?1?0(6)项数为偶数2n的等差数列?an?，
有
S2n?n(a1?a2n)?n(a2?a2n?1)???n(an?an?1)(an,an?1为中间两项)
偶奇S偶an?1（7）项数为奇数2n?1的等差数列?an?，有
S2n?1?(2n?1)an(an为中间项)，
S奇?S偶?aS奇nn，
S?偶n?1. 2. 等比数列的定义与性质
定义：
an?1?q（q为常数，q?0），an?a?1a1qnn. 等比中项：x、G、y成等比数列?G2?xy，或G??xy.?前n项和：S?na1(q?1)n??a?1?1?qn?（要注意！）
?1?q(q?1)性质：?an?是等比数列
（1）若m?n?p?q，则am·an?ap·aq （2）Sn，S2n?Sn，S3n?S2n……仍为等比数列,公比为qn. 注意：由Sn求an时应注意什么？
n?1时，a1?S1； n?2时，an?Sn?Sn?1. 3．求数列通项公式的常用方法 （1）求差（商）法
如：数列?a111n?，2a1?22a2?……?2nan?2n?5，求an
1
解 n?1时，12a1?2?1?5，∴a1?14 ①
n?2时，12a111?22a2?……?2n?1an?1?2n?1?5 ②
①—②得：12?2，∴an?1?14(n?1)nann?2，∴an???2n?1(n?2)
［练习］数列?a5n?满足Sn?Sn?1?3an?1，a1?4，求an
注意到a1n?1?Sn?1?Sn，代入得
Sn?S?4又S1?4，∴?Sn?是等比数列，Sn?4nn；
n?2时，an?Sn?Sn?1?……?3·4n?1 （2）叠乘法
如：数列?aann?中，a1?3，n?1a?1，求an
nn?解 a2·a3……an?1·2……n?1，∴an13a?又a1?3，∴an?1a2an?123na1nn. （3）等差型递推公式
由an?an?1?f(n)，a1?a0，求an，用迭加法
a2?a1?f(2)?n?2时，a3?a2?f(3)??…………?两边相加得a?n?a1?f(2)?f(3)?……?f(n)
an?an?1?f(n)??∴an?a0?f(2)?f(3)?……?f(n)
［练习］数列?a中，a?3n?1?aa?13n?1n?1?1，ann?1?n?2?，求an（n2??）
（4）等比型递推公式
an?can?1?d（c、d为常数，c?0，c?1，d?0）
可转化为等比数列，设an?x?c?an?1?x??an?can?1??c?1?x 令(c?1)x?d，∴x?dc?1，∴???a?d?c?1??是首项为adn1?c?1，c为公比的等比数列 ∴add?n?1n?c?1????a?d?n?1d1?c?1??·c，∴an???a1?c?1??c?c?1 （5）倒数法 如：a1?1，a2ann?1?a，求an n?2由已知得：
1a?an?2a?1?1，∴1?1?1 n?12n2anan?1an2∴??1?111?a?为等差数列，·1?1?n?1?， n?a?1，公差为12，∴a?1??n?1?n22∴a2n?n?1
( 附：
公式法、利用
an??S1(n?1)Sn?Sn?1(n?2)、累加法、累乘法.构造等差或等比an?1?pan?q或
an?1?pan?f(n)、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法
)
4.
求数列前n项和的常用方法
(1) 裂项法
把数列各项拆成两项或多项之和，使之出现成对互为相反数的项. 如：?nan?是公差为d的等差数列，求?1 k?1akak?12
解：由
1a?1?a?1??1?1???d?0?
k·ak?1akk?d?d?akak?1?n∴?1n1?11?1??11???1k?1a?????????????1?1???……???1????
kak?1k?1dakak?1?d??a1a2??a2a3??anan?1???1?1d??a?1?? 1an?1?［练习］求和：1?11?2?111?2?3?……?1?2?3?……?n a?……?……，S1nn?2?n?1 （2）错位相减法
若?an?为等差数列，?bn?为等比数列，求数列?anbn?（差比数列）前n项和，可由Sn?qSn，求Sn，其中q为?bn?的公比.
如：Sn?1?2x?3x2?4x3?……?nxn?1
①
x·Sn?x?2x2?3x3?4x4?……??n?1?xn?1?nxn
②
①—②?1?x?Sn?1?x?x2?……?xn?1?nxn
nx?1时，S?1?xn??n?1?x?2?nx1?x，x?1时，S?2?3?……?n?n?n?1?n?12 （3）倒序相加法
把数列的各项顺序倒写，再与原来顺序的数列相加.
Sn?a1?a2?……?an?1?an?S?a?相加2Sn??a1?an???a2?an?1??…??a1?an?…
nn?an?1?……?a2?a1?f(x)?x2［练习］已知1?x2，则
f(1)?f(2)?f??1????f(3)?f??1?2???f(4)?f??3??1??4??? ?2由f(x)?f??1?x2?1??x??x21?x???1?x2?2?2?2?11???1?1?x1?x?x??
∴原式?f(1)????f(2)?f??1????????f(3)?f??1???2???????f(4)f??1??4??????11?3????2?1?1?1?32
二、等差等比数列复习题
一、 选择题
1、如果一个数列既是等差数列，又是等比数列，则此数列（ ）
（A）为常数数列 （B）为非零的常数数列 （C）存在且唯一 （D）不存在2.、在等差数列?an?中，a1?4,且a1,a5,a13成等比数列，则?an?的通项公式为（ ）
（A）an?3n?1 （B）an?n?3 （C）an?3n?1或an?4 （D）an?n?3或an?43、已知a,b,c成等比数列，且x,y分别为a与b、b与c的等差中项，则acx?y的值为（ ）
（A）
12 （B）?2 （C）2 （D） 不确定 4、互不相等的三个正数a,b,c成等差数列，x是a,b的等比中项，y是b,c的等比中项，那么x2，b2，y2三个数（ ）
（A）成等差数列不成等比数列 （B）成等比数列不成等差数列
（C）既成等差数列又成等比数列 （D）既不成等差数列，又不成等比数列5、已知数列?an?的前n项和为Sn,S2n?1?4n2?2n,则此数列的通项公式为（ ）
3
（A）an?2n?2 （B）an?8n?2 （C）an?2n?1 （D）an?n2?n 6（ ）
、
已
知
(z?x)2?4(x?y)(y?z)13、各项都是正数的等比数列?an?，公比q?1a5,a7,a8,成等差数列，则公比q=
，
则 a 1 ? a 5 ? a 1714、已知等差数列?an?，公差d?0,a1,a5,a17成等比数列，则= a2?a6?a18115、已知数列?an?满足Sn?1?an,则an=
416、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入
成等比数列 的这两个数的等比中项为
二、 解答题
7、数列?an?的前n项和Sn?an?1，则关于数列?an?的下列说法中，正确的个数有
17、已知数列?an?是公差d不为零的等差数列，数列?abn?是公比为q的等比数列，
（ ）
①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ②一定是等差数列，但不可能是等比数列
b1?1,b2?10,b3?46 ，求公比q及bn。
③可能是等比数列，也可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列 ⑤可能既是等差数列，又是等比数列
（A）4 （B）3 （C）2 （D）1
1111
8、数列1,前n项和为 ,3,5,7,? 24816（ ）
18、已知等差数列?an?的公差与等比数列?bn?的公比相等，且都等于
111111（A）（B）（C）（D）n2?n?1 n2?n?1? n2?n?n?1 n2?n?n?1?
222222d(d?0,d?1) ,a1?b1 ，a3?3b3,a5?5b5,求an,bn。
Aa?a134n?29、若两个等差数列?an?、?bn?的前n项和分别为An 、Bn，且满足n?，则5
Bn5n?5b5?b13
的值为 （ ）
78197 （A） （B） （C） （D）
9720819、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，
10、已知数列?an?的前n项和为Sn?n2?5n?2,则数列?an?的前10项和为
求这四个数。
（ ）
（A）56 （B）58 （C）62 （D）60
11、已知数列?an?的通项公式an?n?5为, 从?an?中依次取出第3，9，27，…3n, …项，按
原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前n项和为 （ ）
n(3n?13)3n?10n?33n?1?10n?3n （A） （B）3?5 （C） （D）
222
二、填空题
111111（A）x,y,z成等差数列 （B）x,y,z成等比数列 （C）,,成等差数列 （D）,,xyzxyz
4
20、已知?an?为等比数列，a3?2,a2?a4?
20，求?an?的通项式。 3
第九单元 数列综合题
一、选择题 题号 1 答案 二、 填空题 13.
B 2 D 3 C 4 A 5 A 6 A 7 C 8 A 9 D 10 D 11 D 12 D 1?52641n 14. 15. (?) 16. ?63 22933三、解答题
17.ab1=a1,ab2=a10=a1+9d,ab3=a46=a1+45d
由{abn}为等比数例，得（a1+9d）2=a1(a1+45d)得a1=3d,即ab1=3d,ab2=12d,ab3=48d. ∴q=4 又由{abn}是{an}中的第bna项，及abn=ab1·4n-1=3d·4n-1,a1+(bn-1)d=3d·4n-1 ∴bn=3·4n-1-2
18.∴ a3=3b3 , ?a1+2d=3a1d2 , ?a1(1-3d2)=-2d ① ?a5=5b5, ?a1+4d=5a1d4 , ∴a1(1-5d4)=-4d ②
②1?5d512=1或d2= ,得=2，∴ d,由题意，d=,a1=-2①51?3d5bn=a1dn-1=-5·(
421、数列?an?的前n项和记为Sn,a1?1,an?1?2Sn?1?n?1? （Ⅰ）求?an?的通项公式；
（Ⅱ）等差数列?bn?的各项为正，其前n项和为Tn，且T3?15，又a1?b1,a2?b2,a3?b3成等比数列，求Tn
22、已知数列?an?满足a1?1,an?1?2an?1(n?N*).
（I）求数列?an?的通项公式； （II）若数列?bn?满足4b1?1.4b2?1...4bn?1?(an?1)bn(n?N?)，证明：?bn?是等差数列；
5。∴an=a1+(n-1)d=
5(n-6) 55n-1 )519.设这四个数为
a,a,aq,2aq?a q①?a·a?aq?216?则?q 由①，得a3=216,a=6 ③ ?a?aq?(3aq?a)?36②?③代入②，得3aq=36,q=2 ∴这四个数为3，6，12，18 a32
20.解: 设等比数列{an}的公比为q, 则q≠0, a2= = , a4=a3q=2q
qq2201
所以 + 2q= , 解得q1= , q2= 3,
q33
5
当q1=13, a1=18.所以 an=18×(13)n－1=18－
3n－1 = 2×33n.
当q=3时, a1= 22－
9 , 所以an=9
×3n－1=2×3n3.
21.解：(I)由an?1?2Sn?1可得an?2Sn?1?1?n?2?，两式相减得
an?1?an?2an,an?1?3an?n?2?
又a2?2S1?1?3 ∴a2?3a1 故?an?是首项为1，公比为3得等比数列
∴an?1n?3
（Ⅱ）设?bn?的公差为d
由T3?15得，可得b1?b2?b3?15，可得b2?5 故可设b1?5?d,b3?5?d 又a1?1,a2?3,a3?9
由题意可得?5?d?1??5?d?9???5?3?2 解得d1?2,d2?10
∵等差数列?bn?的各项为正，∴d?0 ∴d?2
∴Tn?n?1?n?3n??2?n22?2n 22（I）：Qa2a*n?1?n?1(n?N),
?an?1?1?2(an?1),
??an?1?是以a1?1?2为首项，2为公比的等比数列。
?an?1?2n.
即 a21(n?N*n?2?).
（II）证法一：Q4b1?14b2?1...4bn?1?(an?1)bn.
?4(b1?b2?...?bn)?n?2nbn.
?2[(b1?b2?...?bn)?n]?nbn, 2[(b1?b2?...?bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1. ②－①，得2(bn?1?1)?(n?1)bn?1?nbn, 即(n?1)bn?1?nbn?2?0, ③
nbn?2?(n?1)bn?1?2?0. ④
④－③，得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0, 即 bn?2?2bn?1?bn?0,
?bn?2?bn?1?bn?1?bn(n?N*),
??bn?是等差数列。
6
①
②
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