江西省南昌市2015-2016学年度第一学期期末试卷
(江西师大附中使用)高三理科数学分析
一、整体解读
试卷紧扣教材和考试说明,从考生熟悉的基础知识入手,多角度、多层次地考查了学生
的数学理性思维能力及对数学本质的理解能力,立足基础,先易后难,难易适中,强调应用,不偏不怪,达到了“考基础、考能力、考素质”的目标。试卷所涉及的知识内容都在考试大纲的范围内,几乎覆盖了高中所学知识的全部重要内容,体现了“重点知识重点考查”的原则。
1.回归教材,注重基础
试卷遵循了考查基础知识为主体的原则,尤其是考试说明中的大部分知识点均有涉及,其中应用题与抗战胜利70周年为背景,把爱国主义教育渗透到试题当中,使学生感受到了数学的育才价值,所有这些题目的设计都回归教材和中学教学实际,操作性强。 2.适当设置题目难度与区分度
选择题第12题和填空题第16题以及解答题的第21题,都是综合性问题,难度较大,学生不仅要有较强的分析问题和解决问题的能力,以及扎实深厚的数学基本功,而且还要掌握必须的数学思想与方法,否则在有限的时间内,很难完成。 3.布局合理,考查全面,着重数学方法和数学思想的考察
在选择题,填空题,解答题和三选一问题中,试卷均对高中数学中的重点内容进行了反复考查。包括函数,三角函数,数列、立体几何、概率统计、解析几何、导数等几大版块问题。这些问题都是以知识为载体,立意于能力,让数学思想方法和数学思维方式贯穿于整个试题的解答过程之中。
二、亮点试题分析
1.【试卷原题】11.已知A,B,C是单位圆上互不相同的三点,且满足AB?AC,则ABAC?的最小值为( )
????1 41B.?
23C.?
4D.?1
A.?
【考查方向】本题主要考查了平面向量的线性运算及向量的数量积等知识,是向量与三角的典型综合题。解法较多,属于较难题,得分率较低。 【易错点】1.不能正确用OA,OB,OC表示其它向量。 2.找不出OB与OA的夹角和OB与OC的夹角的倍数关系。 【解题思路】1.把向量用OA,OB,OC表示出来。 2.把求最值问题转化为三角函数的最值求解。
【解析】设单位圆的圆心为O,由AB?AC得,(OB?OA)2?(OC?OA)2,因为
??OA?OB?OC?1,所以有,OB?OA?OC?OA则
AB?AC?(OB?OA)?(OC?OA)
?OB?OC?OB?OA?OA?OC?OA2 ?OB?OC?2OB?OA?1
设OB与OA的夹角为?,则OB与OC的夹角为2?
11所以,AB?AC?cos2??2cos??1?2(cos??)2?
221即,AB?AC的最小值为?,故选B。
2【举一反三】
【相似较难试题】【2015高考天津,理14】在等腰梯形ABCD中,已知
AB//DC,AB?2,BC?1,?ABC?60 ,动点E和F分别在线段BC和DC上,且,
1BE??BC,DF?DC,则AE?AF的最小值为 .
9?
【试题分析】本题主要考查向量的几何运算、向量的数量积与基本不等式.运用向量的几何运算求AE,AF,体现了数形结合的基本思想,再运用向量数量积的定义计算AE?AF,体现了数学定义的运用,再利用基本不等式求最小值,体现了数学知识的综合应用能力.是思维能力与计算能力的综合体现. 【答案】
29 1811DC,DC?AB,9?2【解析】因为DF?
CF?DF?DC?11?9?1?9?DC?DC?DC?AB, 9?9?18?AE?AB?BE?AB??BC,
1?9?1?9?AF?AB?BC?CF?AB?BC?AB?AB?BC,
18?18?221?9???1?9??1?9??AE?AF?AB??BC??AB?BC??AB??BC??1????AB?BC18???18??18????
21172117291?9?19?9?????2???? ?4????2?1?cos120??9?2189?2181818?1821229当且仅当. ??即??时AE?AF的最小值为
9?23182.【试卷原题】20. (本小题满分12分)已知抛物线C的焦点F?1,0?,其准线与x轴的
?交点为K,过点K的直线l与C交于A,B两点,点A关于x轴的对称点为D. (Ⅰ)证明:点F在直线BD上; (Ⅱ)设FA?FB???8,求?BDK内切圆M的方程. 9【考查方向】本题主要考查抛物线的标准方程和性质,直线与抛物线的位置关系,圆的标准方程,韦达定理,点到直线距离公式等知识,考查了解析几何设而不求和化归与转化的数学思想方法,是直线与圆锥曲线的综合问题,属于较难题。
【易错点】1.设直线l的方程为y?m(x?1),致使解法不严密。
2.不能正确运用韦达定理,设而不求,使得运算繁琐,最后得不到正确答案。 【解题思路】1.设出点的坐标,列出方程。 2.利用韦达定理,设而不求,简化运算过程。 3.根据圆的性质,巧用点到直线的距离公式求解。
【解析】(Ⅰ)由题可知K??1,0?,抛物线的方程为y2?4x
则可设直线l的方程为x?my?1,A?x1,y1?,B?x2,y2?,D?x1,?y1?,
?x?my?1?y1?y2?4m故?2整理得y2?4my?4?0,故?
y?4xyy?4??122?y2?y1y24?则直线BD的方程为y?y2?x??x?x2?即y?y2???
x2?x1y2?y1?4?yy令y?0,得x?12?1,所以F?1,0?在直线BD上.
4?y1?y2?4m2(Ⅱ)由(Ⅰ)可知?,所以x1?x2??my1?1???my2?1??4m?2,
?y1y2?4x1x2??my1?1??my1?1??1 又FA??x1?1,y1?,FB??x2?1,y2?
故FA?FB??x1?1??x2?1??y1y2?x1x2??x1?x2??5?8?4m,
2????
84,?m??,故直线l的方程为3x?4y?3?0或3x?4y?3?0 93472, y2?y1???y2?y1??4y1y2??16m2?16??3故直线BD的方程3x?7y?3?0或3x?7y?3?0,又KF为?BKD的平分线,
3t?13t?1,故可设圆心M?t,0???1?t?1?,M?t,0?到直线l及BD的距离分别为542则8?4m?-------------10分 由
3t?15?3t?14得t?3t?121? 或t?9(舍去).故圆M的半径为r?95321?4?所以圆M的方程为?x???y2?
9?9?【举一反三】
【相似较难试题】【2014高考全国,22】 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,直线5
y=4与y轴的交点为P,与C的交点为Q,且|QF|=|PQ|. 4(1)求C的方程;
(2)过F的直线l与C相交于A,B两点,若AB的垂直平分线l′与C相交于M,N两点,且A,M,B,N四点在同一圆上,求l的方程.
【试题分析】本题主要考查求抛物线的标准方程,直线和圆锥曲线的位置关系的应用,韦达定理,弦长公式的应用,解法及所涉及的知识和上题基本相同. 【答案】(1)y2=4x. (2)x-y-1=0或x+y-1=0. 【解析】(1)设Q(x0,4),代入
8
y2=2px,得
x0=,
p
8
pp8
所以|PQ|=,|QF|=+x0=+.
p22p
p858
由题设得+=×,解得p=-2(舍去)或p=2,
2p4p所以C的方程为y2=4x.
(2)依题意知l与坐标轴不垂直,故可设l的方程为x=my+1(m≠0). 代入y2=4x,得y2-4my-4=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则y1+y2=4m,y1y2=-4.
故线段的AB的中点为D(2m2+1,2m), |AB|=m2+1|y1-y2|=4(m2+1).
又直线l ′的斜率为-m,
1
所以l ′的方程为x=-y+2m2+3.
m将上式代入y2=4x, 并整理得
y2+
y-4(2m2+3)=0. m44
设M(x3,y3),N(x4,y4),
则y3+y4=-,y3y4=-4(2m2+3).
m
?22?
2+2m+3,-?, 故线段MN的中点为E?2
mm??
|MN|=
4(m2+1)2m2+1
1+2|y3-y4|=.
mm2
1
由于线段MN垂直平分线段AB,
1
故A,M,B,N四点在同一圆上等价于|AE|=|BE|=|MN|,
211
22从而|AB|+|DE|=|MN|2,即 444(m2+1)2+
??22?2?2
?2m+?+?2+2?=
m???m?
4(m2+1)2(2m2+1)
,
m4
化简得m2-1=0,解得m=1或m=-1, 故所求直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0.
三、考卷比较
本试卷新课标全国卷Ⅰ相比较,基本相似,具体表现在以下方面: 1. 对学生的考查要求上完全一致。
即在考查基础知识的同时,注重考查能力的原则,确立以能力立意命题的指导思想,将知识、能力和素质融为一体,全面检测考生的数学素养,既考查了考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度,又考查了对数学思想方法和数学本质的理解水平,符合考试大纲所提倡的“高考应有较高的信度、效度、必要的区分度和适当的难度”的原则. 2. 试题结构形式大体相同,即选择题12个,每题5分,填空题4 个,每题5分,解答题8个(必做题5个),其中第22,23,24题是三选一题。题型分值完全一样。选择题、填空题考查了复数、三角函数、简易逻辑、概率、解析几何、向量、框图、二项式定理、线性规划等知识点,大部分属于常规题型,是学生在平时训练中常见的类型.解答题中仍涵盖了数列,三角函数,立体何,解析几何,导数等重点内容。
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