第22讲图形的相似
［锁定目标考试］
考标要求 考查角度 相似多边形的性质是中考考查的 热1. 了解比例线段的冇关概念及其性质，并会用比 例点，其屮以相似多边形的相似比、 面积的性质解决简单的问题. 似三角形2. 了解相似多边形、相似比和相似三角形的概 念，比、周长比的关系考查较多.相 掌握其性质和判定并会运川图形的相似解决 一些简的判定、性质及应用是考查 的重点，常单的实际问题. 与方程、圆、四边形、三 角函数等相结3. 了解位似变换和位似图形的概念，掌握并运 用合，进行有关计算或证 明. 其性质.
［导学必备知识1 知识梳理
一、 比例线段 1. 比例线段的定义
在四条线段Q, b, C, d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即 _____ ,那么这四条线段G b, C, d叫做成比例线段，简称 ______________________________________ .
2. 比例线段的基本性质 ￥=^^ad=bC? 3. 黄金分割
把线段分成两条线段/C和BC(AC>BC)f且使/C是曲和BC的 ______________________ ，叫 做把线段AB黄金分割，C叫做线段AB的黄金分割点(AC=^^~AB =0.618/3, BC= 叫)
二、 相似多边形 1. 定义
对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫 做 ,相似比为1的两个多边形全等.
2. 性质
⑴相似多边形的对应角 ________ ,对应边成 _________ : (2) 相似多边形周长的比等于 _______ : (3) 相似多边形而积的比等于 __________ ? 三、 相似三角形 1. 定义
各角对应 ________ ，各边対应成 ________ 的两个三角形叫做相似三角形. 2. 判定
(1) 平行于三角形一边的总线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与 相似； (2) 两角对应 _______ ,两三角形相似； (3) 两边对应成 _______ R夹角 ________ ,两三角形相似； (4) 三边对?应成 _____ ,两三角形相似；
(5) 斜边和一条直角边对应成比例，两直角三介形相似. 3. 性质
(1) ______________________ 相似三角形的对应角 ,对应边成 :
(2) 相似三角形对应高的比、对应中线的比、对■应角平分线的比都等于 _______ ； (3) 相似三角形周长的比等于 ________ ；
⑷相似三角形面积的比等于 _____________ . 四、位似变换与位似图形 1. 定义
収定一点O,把图形上任意一点P对应到射线OP(或它的反向延长线)上一点P ,使 得线段0P与
0P的 _____________________ 等于常数k(k>?，点。对应到它白身，这种变换叫做位似变 换，点0叫做 _________ ，常数殳叫做 _______ , 一个图形经过位似变换得到的图形叫做与 原图形位似的图形.
2 .性质
两个位似的图形上每一对对应点都为位似中心在一条直线上，并且新图形与原图形上 对应点到位似中心的距离之比等于 ____________ .
3. 画位似图形的步骤 (1) 确定位似 _______ ；
(2) 连接图形各顶点少位似中心的线段(或延长线)； (3) 按位似比进行取点;
(4) 顺次连接各点,所得的图形就是所求图形. 自主测试
1. (2012贵州铜仁)如图，六边形ABCDEFs六边形GHIJKL,相似比为2 : 1,则下列 结论正确的是()
A. ZE=2ZK B. BC=2HI
C. 六边形ABCDEF的周长=六边形厶的周长 D ? S六边形ABCDEF= 2S六边形GHIJKL
2?(2012重庆)已知，/\\ABCS^DEF, N4BC的周长为3, /\\DEF的周长为1,则 △4BC与'DEF的面枳之比为 ___________________________ .
3.如图，在一?场羽毛球比赛中，站在场内M处的运?动员林丹把球从N点击到了対方 内的〃点，己知网高04=1.52米，OB=4米，OM=5米，则林丹起跳后击球点N离地而 的距离NM= _____________________ 米.
4. 已知△/BC与△DEF相似且面积比为4： 25,则ZX/BC与/\\DEF的相似比为
5?如图，以点O为位似屮心，将五边形ABCDE放人后得到五边形
1ffA' B' C D' E',已知04 = 10 cm, OA' =20 cm,则五边形ABCDE的周长与五边形 A B' C D' E的周长的比值是 _____________________________ .
6.如图，网格屮的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格 点.,CB和的顶点都在格点上 EQ的延长线交力3于点F.
B
求证：⑴LCBSMCE； ⑵EF丄
［探究重难方法］
考点一、相似图形的性质
【例1】如图，在长为8cm、宽为4cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形（图 中阴影部分）与原矩形相似，则留下矩形的面积是（）
A. 2 cm2 B. 4 cm2 C. 8 cm2 D. 16 cm2
解析：根据相似多边形面积的比等于相似比的平方，得尹 參詁，5r^ = 8 cm2. 答案：C
方法总结 相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等，周长的比等于相似比， 面积的比等于相似比的平方，利用相似多边形的性质可求多边形的边长、角、周长或面 积.
考点二、相似三角形的性质与判定
【例2】如图，在 屮，E, F分别是AD, CQ边上的点，连接BE, AF,它们 相交于点G,延长BE交CD的延长线于点/A则图中相似三用形共冇（
）
A. 2对 B. 3对C. 4对 D. 5对
解析：依据题中的条件，平行四边形的对边平行，由AD//BC ,可得 'HEDsHHBC,由 AB//CD,可得△MEQsHHFGs/XBAG.根据相似的传递 性，可得△HBCs/XBE/, —共有四对相似三角形.
答案：c
方法总结判定两个三角形是否相似首先看是否存在平行线或能否作出相关的平行 线，再看是否存在两组对应角相等，若只有一对对应角相等，再看夹这个角的两边是否成 比例；若无内角相等，就考虑三组对应边是否成比例.
触类旁通2已知如图(1), (2)屮各有两个三角形，其边长和角的度数已在图上标注，图 ⑵中
A.都相似 考点三、位似图形
/B, CD交于0点,对于各图中的两个三角形而言，下列说法正确的是()
【例3】如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点0在坐标原点，边04在x轴匕 OC在y轴上，如果矩形Of B' C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形Of Bf C的 面积等于矩形
OABC Ifll积的￡那么点刃 的坐标是()
A. (3,2) B. (-2, -3)
C. (2,3)或(一2, -3) D. (3,2)或(一3, —2)
解析：分两种情况计算，即矩形OABC和矩形0/' B' C'在原点的同侧和两侧. 答案：D 方法总结 位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形，利用位似的方 法，可以把一个多边形放大或缩小.位似图形所有对应点的连线相交于位似中心.
触类旁通3如图，N4BC中，A, 〃两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(-1,0).以 点C为位似中心，在兀轴的下方作的位似图形△才B' C,并把的边长放大 到原來的2倍.设点B的対应
f点B的横坐标是a，则点B的横处标是()
A.
1
a~2
D. —*(a+3)
考点四、相似三角形的应用
【例4】问题背景：在某次活动课中，甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下 对校园中的--些物体进行了测量，下面是他们通过测量得到的一?些信息：
甲组:如图⑴,测得一根直立于平地,长为80 cm的竹竿的影长为60 cm. 乙组：如图(2),测得学校旗杆的影长为900 cm. 丙组:如图⑶，测得校园景灯(灯罩视为球体，灯杆为圆柱体,其粗细忽略不计)的高 度为200
cm,影长为156 cm.
任务要求：
(1) 请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；
(2) 如图(3),设太阳光线与相切于点请根据甲、丙两组得到的信息，求景灯 灯罩的半径.(提示：如图(3),景灯的影长等于线段NG的影长；需要时可釆用等式1562+ 20*=26()2)
解：⑴如题图(1), (2), 'ABCs'DEF、 ? AB AC ，'DE=DF
AB = 80 cm, AC = 60 cm, DF= 900 cm, ? 80 _ 60 ?*5￡ = 900-
中考备考数学总复习_第22讲图形的相似(含解析).doc
