高中数学-函数定义域、值域求法总结(1)

函数定义域、值域求法总结一.求函数的定义域需要从这几个方面入手：

（1）分母不为零

（2）偶次根式的被开方数非负。（3）对数中的真数部分大于0。

（4）指数、对数的底数大于0，且不等于1

（5）y=tanx中x≠kπ+π/2；y=cotx中x≠kπ等等。(6)x0中x?0

二、值域是函数y=f(x)中y的取值范围。

常用的求值域的方法：（1）直接法

（3）函数单调性法

（2）图象法（数形结合）（4）配方法

（5）换元法（包括三角换元）（6）反函数法（逆求法）（7）分离常数法（9）复合函数法（11）平方法等等

这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。

（8）判别式法（10）不等式法

定义域的求法

1、直接定义域问题

例1求下列函数的定义域：①f(x)?

1

；②f(x)?3x?2；③f(x)?x?2

1

无意义，x?2

x?1?

12?x解：①∵x-2=0，即x=2时，分式而x?2时，分式1

有意义，∴这个函数的定义域是?x|x?2?.x?22

②∵3x+2<0，即x<-时，根式3x?2无意义，32

而3x?2?0，即x??时，根式3x?2才有意义，32

∴这个函数的定义域是{x|x??}.31③∵当x?1?0且2?x?0，即x??1且x?2时，根式∴这个函数的定义域是{x|x??1且x?2}另解：要使函数有意义，必须：例2求下列函数的定义域：①f(x)?

x?1和分式1

同时有意义，2?x?x?1?0?x??1

???

?2?x?0?x?2

x2?3x?4

x?1?2(x?1)0x?x4?x?111?

11?1x13x?72②f(x)?

③f(x)?

④f(x)?

⑤y?

x?2?3?3解：①要使函数有意义，必须：4?x?1∴函数f(x)?

2即：?3?x?3

4?x2?1的定义域为：[?3,3]?x?4或x??1?

?x??3且x?1

?x2?3x?4?0

②要使函数有意义，必须：??

x?1?2?0?

?x??3或?3?x??1或x?4

∴定义域为：{x|x??3或?3?x??1或x?4}?x?0??

1?

③要使函数有意义，必须：?1??0?x?

?1?1?0

1?

1??

x1

∴函数的定义域为：{x|x?R且x?0,?1,?}2④要使函数有意义，必须：?x?0?

?x??1?x??1?

2

?x?1?0?

?x?x?0?x??1??

?x?0

∴定义域为：?x|x??1或?1?x?0?2??x?2?3?0?x?R7

⑤要使函数有意义，必须：???

x????3x?7?03?

777

即x?∴定义域为：{x|x??}333

2定义域的逆向问题

例3若函数y?

ax2?ax?

1的定义域是R，求实数a的取值范围(定义域的逆向问题)a1

?0恒成立，a解：∵定义域是R,∴ax2?ax?

a?0??1等价于??0?a?2??a2?4a??0?a?∴练习：y?log

2x2?mx?3定义域是一切实数，则m的取值范围；3复合函数定义域的求法

例4若函数y?f(x)的定义域为[?1，1]，求函数y?f(x?

解：要使函数有意义，必须：11

)?f(x?)的定义域44

13??5

?1?x??1??x???444??3?x?3???31544??1?x??1???x?

44??4

3?11x|??x?y?f(x?)?f(x?)?

444的定义域为：?∴函数3?

?4?

例5已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(2x－1)的定义域。

分析：法则f要求自变量在[－1，1]内取值，则法则作用在2x－1上必也要求2x－1在[－1，1]内取值，即－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域；或者从位置上思考f(2x－1)中2x－1与f(x)中的x位置相同，范围也应一样，∴－1≤2x－1≤1,解出x的取值范围就是复合函数的定义域。（注意：f(x)中的x与f(2x－1)中的x不是同一个x，即它们意义不同。）解：∵f(x)的定义域为[－1，1]，∴－1≤2x－1≤1，解之0≤x≤1，∴f(2x－1)的定义域为[0，1]。3例6已知已知f(x)的定义域为[－1，1]，求f(x2)的定义域。

答案：－1≤x2≤1?x2≤1?－1≤x≤1练习：设f(x)的定义域是[?3，2]，求函数f(x?2)的定义域解：要使函数有意义，必须：?3?∵x?2?2得：?1?

x?2?2x≥0∴0?

x?2?20?x?6?42∴函数f(x?2)的定域义为：x|0?x?6?42

??例7已知f(2x－1)的定义域为[0，1]，求f(x)的定义域

因为2x－1是R上的单调递增函数，因此由2x－1，x∈[0,1]求得的值域[－1，1]是f(x)的定义域。练习：

5

1已知f(3x－1)的定义域为[－1，2），求f(2x+1)的定义域。??,2）

2（提示：定义域是自变量x的取值范围）2已知f(x2)的定义域为[－1，1]，求f(x)的定义域

3若y?f?x?的定义域是?0,2?，则函数f?x?1??f?2x?1?的定义域是Ａ．??1,1?4已知函数f?x??

Ｂ??

（）?11?

,?22??

Ｃ．?,1?

2

?1???

Ｄ．?0,?

2

）?1???

1?x

f?x??的定义域为Ａ，函数y?f?的定义域为Ｂ，则（??1?xＡ．A?B?BＢ．B?AＣ．A?B?BＤ．A?B

求值域问题利用常见函数的值域来求（直接法）一次函数y=ax+b(a?0)的定义域为R，值域为R；ky?(k?0)x反比例函数的定义域为{x|x?0}，值域为{y|y?0}；2

二次函数f(x)?ax?bx?c(a?0)的定义域为R，4(4ac?b2)(4ac?b2)y|y?y|y?4a4a当a>0时，值域为{}；当a<0时，值域为{}.例1求下列函数的值域①y=3x+2(-1?x?1)③y?x?

②f(x)??（1?x?3）

1

（记住图像）x23x解：①∵-1?x?1，∴-3?3x?3，∴-1?3x+2?5，即-1?y?5，∴值域是[-1，5]②略③43121

当x>0，∴y?x?=(x?)?2?2，xx-612f?x? = x+x-1o21-4-2-1-2-3y=x1-2246121

当x<0时，y??(?x?)?2??2)=－(?x?

?x?x

∴值域是(??,?2]?[2，+?).（此法也称为配方法）函数y?x?

-41

的图像为：x二次函数在区间上的值域(最值)：例2求下列函数的最大值、最小值与值域：①y?x2?4x?1；③y?x2?4x?1,x?[0,1]；②；y?x2?4x?1,x?[3,4]④y?x2?4x?1,x?[0,5]；解：∵y?x2?4x?1?(x?2)2?3，∴顶点为(2,-3)，顶点横坐标为2.①∵抛物线的开口向上，函数的定义域R，∴x=2时，ymin=-3,无最大值；函数的值域是{y|y?-3}.②∵顶点横坐标2?[3,4]，当x=3时，y=-2；x=4时，y=1；∴在[3,4]上，ymin=-2，ymax=1；值域为[-2，1].③∵顶点横坐标2?[0,1]，当x=0时，y=1；x=1时，y=-2,5y321-2-1O-1-2-3123456x