[课时作业] [A组 基础巩固]
2
1．设首项为1，公比为的等比数列{an}的前n项和为Sn，则( )
3A．Sn＝2an－1 C．Sn＝4－3an
a1?1－qn?a1－anq
解析：Sn＝＝＝3－2an.
1－q1－q答案：D
S4
2．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2－a5＝0，则＝( )
S2A．5 C．－8
4
3
B．Sn＝3an－2 D．Sn＝3－2an
B．8 D．15
4
S41－q2
解析：∵8a2－a5＝0，∴8a1q＝a1q，∴q＝8，∴q＝2，∴＝2＝1＋q＝5. S21－q
答案：A
3．已知在等比数列{an}中，公比q是整数，a1＋a4＝18，a2＋a3＝12，则此数列的前8项和为( ) A．514 C．512
B．513 D．510
3
??a1＋a1q＝18，1
解析：由已知得?解得q＝2或q＝. 22?a1q＋a1q＝12，?
2?1－28?9∵q为整数，∴q＝2.∴a1＝2，∴S8＝＝2－2＝510.
1－2答案：D
4．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和，已知a2a4＝1，S3＝7，则S5＝( ) 15A. 233C. 4
31B. 417D. 2
1
解析：由a2a4＝1?a1＝2，又S3＝a1(1＋q＋q2)＝7，
q1??1?1
＋3－2＝0，∴q＝，a1＝4， 联立得：??q??q?211－5?4??2?31S5＝＝.
141－
2答案：B
5．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn＝126，则n＝________. 解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列， 2?1－2n?∴Sn＝＝126，∴2n＝64，∴n＝6.
1－2答案：6
6．等比数列{an}的公比q>0，已知a2＝1，an＋2＋an＋1＝6an，则{an}的前4项和S4＝________. 解析：由an＋2＋an＋1＝6an，
得qn1＋qn＝6qn1，即q2＋q－6＝0，q>0，解得q＝2，
＋
－
1又∵a2＝1，∴a1＝，
21·?1－24?215∴S4＝＝.
21－215
答案：
2
7．设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列，则an＝________. 解析：设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，依题意得a2＝a1·q＝q，a3＝a1q2＝q2，S1＝a1＝1，S2＝1＋q，S3＝1＋q＋q2，又3S1,2S2，S3成等差数列，所以4S2＝3S1＋S3，即4(1＋q)＝3＋1＋q＋q2，所以q＝3(q＝0舍去)．所以an＝a1qn1＝3n1.
－
－
答案：3n1
－
8．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和，证明：log0.5Sn＋log0.5Sn＋2>2log0.5Sn＋
1.
证明：设{an}的公比为q，由已知得a1>0，q>0. ∵Sn＋1＝a1＋qSn，Sn＋2＝a1＋qSn＋1，
∴SnSn＋2－S2n＋1＝Sn(a1＋qSn＋1)－(a1＋qSn)Sn＋1＝Sna1＋qSnSn＋1－a1Sn＋1－qSnSn＋1＝a1(Sn－Sn＋1)＝－a1an＋1<0， ∴Sn·Sn＋2 根据对数函数的单调性可以得到log0.5(SnSn＋2)>log0.5S2n＋1， 即log0.5Sn＋log0.5Sn＋2>2log0.5Sn＋1. 9．设等比数列{an}的公比q<1，前n项和为Sn，已知a3＝2，S4＝5S2，求{an}的通项公式． a1·?1－qn?解析：由题设知a1≠0，Sn＝， 1－q a1q2＝2， ①??则?a1· ?1－q4?a1·?1－q2? ＝5×， ②?1－q?1－q 由②得1－q4＝5(1－q2)，(q2－4)(q2－1)＝0. (q－2)(q＋2)(q－1)(q＋1)＝0， 因为q<1，解得q＝－1或q＝－2. 当q＝－1时，代入①得a1＝2， 通项公式an＝2×(－1)n－ 1； 当q＝－2时，代入①得a1 1＝2； 通项公式a1n－ n＝×(－2)12 . 综上，当q＝－1时，an＝2×(－1)n－ 1； 当q＝－2时，a1－ n＝×(－2)n12 . [B组 能力提升] 1．在等比数列{an}中，公比q＝2，log2a1＋log2a2＋log2a3＋…＋log2a10＝35，则S10＝( A.1 0232 B.1 024 2 C．235 D.1 0222 解析：由题意知log2(a1·a2·…·a10)＝35， ∴a1·a2·a3·…·a10＝235. ∴a1·(a1q)·(a1q2)·…·(a1q9)＝235. ∴a10＋1q 12＋3＋…＋9 ＝235. ∴a1035，即a1011·245 ＝21＝210， ∴a11＝2 . ∴aaa1?1－q10?1 023 1＋2＋…＋a10＝1－q＝2. 答案：A 2．已知{an}是等差数列，公差d不为零，前n项和是Sn，若a3，a4，a8成等比数列，则( A．a1d>0，dS4>0 B．a1d<0，dS4<0 C．a1d>0，dS4<0 D．a1d<0，dS4>0 解析：因为{an}是等差数列，a3，a4，a8成等比数列， 所以(a)(a5 1＋3d)2＝(a1＋2d1＋7d)?a1＝－3 d， 所以S2(a2(a252 4＝1＋a4)＝1＋a1＋3d)＝－3d，所以a1d＝－3d2<0，dS4＝－3 d2<0. ) ) 答案：B 3．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________． 解析：由题意可知q＝2， 设该数列为a1，a2，a3，…，a2n， 则an＋an＋1＝24，又a1＝1， ∴qn1＋qn＝24，即2n1＋2n＝24， － － 解得n＝4，∴项数为8项． 答案：8 4．(2016·高考全国Ⅰ卷)设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________． 解析：设{an}的公比为q， 于是a1(1＋q2)＝10，① a1(q＋q3)＝5，② 1联立①②得a1＝8，q＝， 2∴an＝24n，∴a1a2…an＝23 － ＋2＋1＋…＋(4－n) 171749 ＝2－n2＋n＝2－(n－)2＋≤26＝64.∴a1a2…an 22228 的最大值为64. 答案：64 5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝5，S6＝36， (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an，求数列{bn}的前n项和Tn. a＋2d＝5，??1 解析：(1)设{an}的公差为d，则? 6×5 6a＋d＝36，?2?1a＋2d＝5，??1 即?∴a1＝1，d＝2. 5 a＋d＝6，1?2? ∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1，(n∈N*)． (2)∵bn＝2an＝22n1， － ∴Tn＝21＋23＋25＋…＋22n1 － 2?1－4n?2?4n－1?＝＝. 31－4 6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)，数列{bn}中，b1＝1，点P(bn，bn ＋1 )在直线x－y＋2＝0上． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，求Tn. 解析：(1)由Sn＝2an－2得Sn－1＝2an－1－2(n≥2)， an两式相减得an＝2an－2an－1，即＝2(n≥2)， an－1又a1＝S1＝2a1－2，∴a1＝2， ∴{an}是以2为首项，2为公比的等比数列． ∴an＝2n. ∵点P(bn，bn＋1)在直线x－y＋2＝0上， ∴bn－bn＋1＋2＝0，即bn＋1－bn＝2， ∴{bn}是等差数列． 又b1＝1，∴bn＝2n－1. (2)∵Tn＝1×2＋3×22＋…＋(2n－3)2n1＋(2n－1)·2n，① － ∴2Tn＝1×22＋3×23＋…＋(2n－3)2n＋(2n－1)2n1.② ＋ ①－②，得 －Tn＝1×2＋2×(22＋23＋…＋2n)－(2n－1)·2n1 ＋ 22－2n·2＋＝2＋2·－(2n－1)2n1 1－2 ＝2＋4·2n－8－(2n－1)2n1＝(3－2n)·2n1－6. ＋ ＋ ∴Tn＝(2n－3)·2n1＋6. ＋
第2课时等比数列的前n项和公式的性质及应用-人教A版高中数学必修5优化练习
