……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
抽象函数单调性与奇偶性特殊模型 抽象函数 f(x+y)＝f(x)＋ｆ（y) f(xy)=f（x)f(y) ［或f(x)?yf(x)f(y)正比例函数f(x)=kx (ｋ≠0) 幂函数 ｆ（ｘ)=x n] ｆ(x+y）=f(x）ｆ(ｙ) 指数函数 f(ｘ）=a (a>０且a≠1） x[或f(x?y)?f(x) f(y)f(xy)=f(x）+ｆ(y) 对数函数 f(x）=loｇaｘ (a〉0且ａ≠1) ［或f(x)?f(x)?f(y)] y正、余弦函数 f(x）=siｎx f（ｘ)=cosx 正切函数 f(x）＝ｔanx 余切函数 f(ｘ)＝coｔx f(ｘ+T）=f(x） f(x?y)?f(x)?f(y)1?f(x)f(y)1?f(x)f(y)f(x)?f(y) f(x?y)? 1。已知f(x?y)?f(x?y)?2f(x)f(y),对一切实数x、y都成立，且f(0)?0，求证f(x)为偶函数。
证明：令x=0， 则已知等式变为f(y)?f(?y)?2f(0)f(y)……①
在①中令y＝0则2f(0)=２f(0)∵f(0)≠0∴f(0)=１∴f(y)?f(?y)?2f(y)∴f(?y)?f(y)∴f(x)为偶函数。
２．奇函数f(x)在定义域(-1,1)内递减，求满足f(1?m)?f(1?m)?0的实数m的取值范围。
解：由f(1?m)?f(1?m)?0得f(1?m)??f(1?m),∵f(x)为函数,∴f(1?m)?f(m?1)
2222??1?1?m?1?2又∵f(x)在（—1，1)内递减,∴??1?m?1?1?0?m?1
?1?m?m2?1?
3。如果f(x)=ax?bx?c(a〉0)对任意的t有f(2?t)?f2?t),比较f(1)、f(2)、f(4)的大小
解:对任意t有f(2?t)?f2?t)∴x=2为抛物线y=ax?bx?c的对称轴 又∵其开口向上∴f（2）最小，f（1)=f(3)∵在［２,+∞）上,f(x)为增函数 ∴f（3）〈f（4),∴f(2）〈f(1）〈f(4）
4。 已知函数f(x）对任意实数ｘ,y,均有ｆ(x+y)＝f(x)＋f(y),且当x>0时，f(ｘ)＞０，f(－1）=－2,求f(x)在区间［－2，1]上的值域。 分析:由题设可知，函数f(x)是解：设∵∴
，即，∵当
,
,∴f（x)为增函数.
的抽象函数，因此求函数f（x）的值域,关键在于研究它的单调性。
,∴
，
22在条件中,令y＝－x,则，再令x＝ｙ=０,则f(０）=２ f(0)，∴f（0）＝0,故ｆ（－ｘ)＝f(x）,ｆ(x)为奇函数，
∴f(1）=－f（－1）＝2,又f（－２)＝２ f（－1）=-４， ∴ｆ(x）的值域为［－4，2]。
1 / 7
……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
5. 已知函数ｆ（x）对任意,满足条件f（x）＋f（ｙ）＝2 + f（x+y)，且当x＞0时，ｆ(ｘ)>2,f（3)=5,
求不等式的解.
分析:由题设条件可猜测:ｆ(x)是y＝x＋2的抽象函数，且ｆ(ｘ)为单调增函数,如果这一猜想正确，也就可以脱去不等式中的函数符号，从而可求得不等式的解。 解：设
,则
即
,∴ｆ（x）为单调增函数。 ∵
， 又∵f(３）=5,∴f(1)=3。∴
，∴
6。设函数f(ｘ)的定义域是(－∞,+∞),满足条件：存在成立。求：
(１）f(0)； （2)对任意值x,判断f（x)值的正负． 分析：由题设可猜测f（x)是指数函数解：（1)令ｙ＝0代入
。若f（x)＝0,则对任意
(2）令y＝x≠0,则意x,f（x)>0恒成立.
的抽象函数,从而猜想f（0）=1且f（x）＞0. ，则
，有
,∴
,这与题设矛盾，∴f(x)≠0,∴f（0）=1。
，使得
，对任何ｘ和y，
, 即
,解得不等式的解为-1 〈 a〈 ３.
,∵当
,
，∴
，又由（1)知ｆ(ｘ)≠0,∴ｆ(2x）>０,即f（x)＞０,故对任
7.是否存在函数f(x),使下列三个条件：①f(x)>0,x∈Ｎ;②
立?若存在，求出f(ｘ）的解析式,如不存在,说明理由。 分析:由题设可猜想存在（１)x＝1时,∵(2)假设结论正确。
综上所述,x为一切自然数时
时有
。
,求:?
，又由ｆ(2)＝4可得a=２．故猜测存在函数
,又∵x∈N时,f(x)>0,∴
,则x＝k＋１时，
；③f(2)＝4。同时成,用数学归纳法证明如下：
,结论正确。 ,∴x＝k+1时，
8。设f(x)是定义在(0,＋∞）上的单调增函数,满足
（1)f（1）;
（２)若f(ｘ)+ｆ（ｘ-8)≤2,求x的取值范围. 分析:由题设可猜测f（x)是对数函数解:(1)∵（2）即
的抽象函数,f（1）=0，ｆ（９)＝２.
，∴f(1)＝0。
，从而有ｆ（x)+ｆ(x－8)≤f(9)，
，∵f(x)是(0,+∞)上的增函数，故
,解之得：8＜x≤９。
９.设函数y＝f（x)的反函数是ｙ=g(x）。如果f(ａｂ)＝f(ａ)＋ｆ（b),那么g（a+b)=g(a）·g(b）是否正确,试说明理由。
分析: 由题设条件可猜测y＝f（x）是对数函数的抽象函数,又∵y＝f（x)的反函数是y=g(x),∴ｙ=g(x)必为指数函数的抽象函数,于是猜想g(a+b)＝g（a）·g（b）正确。
2 / 7
……………………………………………………………最新资料推荐…………………………………………………
解:设f(a）＝ｍ，f(b)＝n,由于g（x）是f(x)的反函数,∴g(m)＝a,g(n)=ｂ，从而
，∴g（m）·g（n)＝g（ｍ＋ｎ)，以ａ、b分别代替上式中的m、n即得g（a＋b)=g(a)·g（ｂ).
10． 己知函数ｆ(ｘ）的定义域关于原点对称,且满足以下三条件:
①当是定义域中的数时，有; ②ｆ(a)=－1（a＞0,ａ是定义域中的一个数)； ③当０ 试问:(1）f(x)的奇偶性如何?说明理由。 (2)在(０,4a)上,f(ｘ)的单调性如何?说明理由。 分析： 由题设知f（ｘ）是y＝—cｏtx的抽象函数，从而由ｙ=－coｔx及题设条件猜想:f（x）是奇函数且在(０，４a)上是增函数(这里把ａ看成 进行猜想)． 是定义域中的数时有 解:(1）∵f（x)的定义域关于原点对称，且 ，∴在定义域中。∵ , ∴f(ｘ）是奇函数. (２)设0 ∴f（x1),f（ｘ2),f（x２-ｘ1)均小于零，进而知∴在(0,2ａ）上f(ｘ)是增函数。 又 ＜ｘ-2a<2a, ，∵ｆ（a)＝－1,∴ 中的，于是f(x１）＜ｆ(ｘ2)， ,∴f(2a)=0,设２ａ<ｘ<４a,则0 ,于是f（ｘ)＞０，即在(2a,４ａ）上ｆ（x)>0。设2a＜ｘ1<ｘ２＜4a， 则０＜x2－x1＜2ａ,从而知ｆ（x１),f(x２）均大于零。f（ｘ2－ｘ1)＜0,∵ ，即 f（ｘ１）<ｆ(x２），即f（x)在(２a,4ａ)上也是增函数。综上所述，f(x)在（０,4ａ)上是增函数。 11。 已知函数f（x)对任意实数ｘ、y都有f(ｘｙ）=f（x)·f（y)，且f(-1)＝1，f（2７）=９,当（1)判断ｆ(ｘ)的奇偶性； (２）判断f(x)在[0,＋∞)上的单调性，并给出证明; (３)若 ,求a的取值范围。 时， ，∴ . 分析：由题设可知f(x)是幂函数的抽象函数，从而可猜想f(x）是偶函数，且在[０，＋∞）上是增函数。 解：(1)令ｙ=-1，则f（－x）=f（x)·ｆ(－1）,∵f(-1)=1,∴ f(－x）=f(x)，f(ｘ）为偶函数． (２）设,∴，, 3 / 7
专题：抽象函数的单调性与奇偶性的证明.
