1997年全国高中数学联合竞赛试卷
第一试
(10月5日上午8:00?10:00)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知数列{xn}满足xn+1=xn－xn－1(n≥2)，x1=a， x2=b， 记Sn=x1+x2+?+xn，则下列结论正确的是 (A)x100??a，S100=2b?a (B)x100??b，S100?2b?a (C)x100??b，S100=b?a (D)x100??a，S100?b?a
AECF
2．如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得==λ (0<λ<+∞)，记f(λ)=αλ+βλ
EBFD
其中αλ表示EF与AC所成的角，βλ表示EF与BD所成的角，则
A (A) f(λ)在(0，+∞)单调增加 (B) f(λ)在(0，+∞)单调减少
(C) f(λ) 在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少
E (D) f(λ)在(0，+∞)为常数
3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为BD2
97，则这样的数列共有 F(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
C4．在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x－2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为
(A)(0，1) (B)(1，+∞) (C)(0，5) (D)(5，+∞)
1515
5．设f(x)=x2－πx，? ? arcsin，β=arctan，γ=arcos(－)，=arccot(－)，则
3434
(A)f(α)>f(β)>f()>f(γ) (B) f(α)> f()>f(β)>f(γ) (C) f()>f(α)>f(β)>f(γ) (D) f()>f(α)>f(γ)>f(β)
6．如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有
(A) 0条 (B) 1条 (C)多于1 的有限条 (D) 无穷多条
二．填空题(每小题9分，共54分)
?(x－1)3+1997(x－1)=－1，
1．设x，y为实数，且满足?则x+y ? . 3
?(y－1)+1997(y－1)=1．
22y2．过双曲线x－=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得|AB| ?λ的直线l恰有32
条，则λ= .
1
3．已知复数z满足?2z+?=1，则z的幅角主值范围是 ．
?z?
4．已知三棱锥S?ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为 ．
5．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种．
6．设a ?logz+log[x(yz)?1+1]，b ?logx?1+log(xyz+1)，c ?logy+log[(xyz)?1+1]，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为 ． 三、（本题满分20分）
ππ
设x≥y≥z≥，且x+y+z ?，求乘积cosx siny cosz的最大值和最小值．
122
四、(本题满分20分)
设双曲线xy?1的两支为C1，C2(如图)，正三角形PQR的三顶点位于此双曲线上． (1)求证：P、Q、R不能都在双曲线的同一支上；
(2)设P(?1，?1)在C2上， Q、R在C1上，求顶点Q、R的坐标． y O
P(?1,?1) C2
五、(本题满分20分)
设非零复数a1，a2，a3，a4，a5满足
a2a3a4a5===， a1a2a3a4
11111
a1+a2+a3+a4+a5=4(++++)=S．
a1a2a3a4a5
其中S为实数且|S|≤2．
求证：复数a1，a2，a3，a4，a5在复平面上所对应的点位于同一圆周上．
C1 x???
第二试
(10月5日上午10:30?12:30)
一、（本题50分）如图，已知两个半径不相等的⊙O1与⊙O2相交于M、N两点，且⊙O1、⊙O2分别与⊙O内切于S、T两点。求证：OM⊥MN的充分必要条件是S、N、T三点共线。 二、（本题50分）试问：当且仅当实数x0，x1，…，xn（n≥2）满足什么条件时，存在实数y0，y1，…，yn使得z0=z1+z2+…+zn成立，其中zk=xk+iyk，i为虚数单位，k=0，1，…，n。证明你的结论。
三、（本题50分）在100×25的长方形表格中每一格填入一个非负实数，第i行第j列中填入的数为xi , j（i=1，2，…，100；j=1，2，…，25）（如表1）。然后将表1每列中的数按由小到大的次序从上到下重新排列为x?1 , j≥x?2 , j≥…≥x?100 , j（j=1，2，…，25）。（如表2）
求最小的自然数k，使得只要表1中填入的数满足则当i≥k时，在表2中就能保证表1 x1,1 x2,1 … x100,1 x1,2 x2,2 … x100,2 … … … … 2
2
2
2
Σx
j=1
25
， i，j≤1（i=1，2，…，100）
Σx
j=1
25
i，j≤1
成立。
表2 x?1,1 x?2,1 … x?100,1 x?1,2 x?2,2 … x?100,2 … … … … x?1,25 x?2,25 … x?100,25
x1,25 x2,25 … x100,25 1997年全国高中数学联赛解答
第一试
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．已知数列{xn}满足xn+1=xn－xn－1(n≥2)，x1=a， x2=b， 记Sn=x1+x2+?+xn，则下列结论正确的是 (A)x100??a，S100=2b?a (B)x100??b，S100?2b?a (C)x100??b，S100=b?a (D)x100??a，S100?b?a
解：x1=a，x2=b，x3=b－a，x4=－a，x5=－b，x6=a－b，x7=a，x8=b，…．易知此数列循环，xn+6=xn，于是x100=x4=－a，
又x1+x2+x3+x4+x5+x6=0，故S100=2b－a．选A．
AECF
2．如图，正四面体ABCD中，E在棱AB上，F在棱CD上，使得==λ (0<λ<+∞)，记f(λ)=αλ+βλ
EBFD
其中αλ表示EF与AC所成的角，βλ表示EF与BD所成的角，则
A (A) f(λ)在(0，+∞)单调增加 (B) f(λ)在(0，+∞)单调减少
(C) f(λ) 在(0，1)单调增加，而在(1，+∞单调减少
E (D) f(λ)在(0，+∞)为常数
AECGCF
D解：作EG∥AC交BC于G，连GF，则==，故GF∥BD．故∠GEF=αλ，BEBGBFD
F∠GFE=βλ，但AC⊥BD，故∠EGF=90°．故f(λ)为常数．选D．
C3．设等差数列的首项及公差均为非负整数，项数不少于3，且各项的和为
972，则这样的数列共有
(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个
1
解：设首项为a，公差为d，项数为n，则na+n(n－1)d=972，n[2a+(n－1)d]=2×972，即n为2×972
2
的大于3的约数．
∴ ⑴ n=972，2a+(972－1)d=2，d=0，a=1；d≥1时a<0．有一解；
⑵n=97，2a+96d=194，d=0，a=97；d=1，a=a=49；d=2，a=1.有三解； ⑶n=2×97，n=2×972，无解．n=1，2时n<3.．选C
4．在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x－2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围为 (A)(0，1) (B)(1，+∞) (C)(0，5) (D)(5，+∞)
解：看成是轨迹上点到(0，－1)的距离与到直线x－2y+3=0的距离的比： x2+(y+1)25
=<1?m>5，选D．
m|x－2y+3|
12+(－2)21515
5．设f(x)=x2－πx，? ? arcsin，β=arctan，γ=arcos(－)，=arccot(－)，则
3434
(A)f(α)>f(β)>f()>f(γ) (B) f(α)> f()>f(β)>f(γ) (C) f(i)>f(α)>f(β)>f(γ) (D) f()>f(α)>f(γ)>f(β)
π
解：f(x)的对称轴为x=，
2
ππππ2π3π5π
易得， 0<α<<<β<<<γ<<<δ<．选B．
6432346
6．如果空间三条直线a，b，c两两成异面直线，那么与a，b，c都相交的直线有
(A) 0条 (B) 1条 (C)多于1 的有限条 (D) 无穷多条
c解：在a、b、c上取三条线段AB、CC、AD，作一个平行六面体PABCD—ABCD，在c上取线段AD上一点P，过a、P作 一
D’C’个平面，与DD交于Q、与CC交于R，则QR∥a，于是PR不与a平行，Q但PR与a共面．故PR与a相交．由于可以取无穷多个点P．故选D． RDC
A‘B‘a二．填空题(每小题9分，共54分)
BAS?(x－1)3+1997(x－1)=－1，
1．设x，y为实数，且满足?则x+y ? . 3
?(y－1)+1997(y－1)=1．
?(x－1)3+1997(x－1)+1=0，
解：原方程组即? 3
?(1－y)+1997(1－y)+1=0．
b取 f(t)=t3+1997t+1，f ?(t)=3t2+1987>0．故f(t)单调增，现x－1=1－y，x+y=2．
22y2．过双曲线x－=1的右焦点作直线l交双曲线于A、B两点，若实数λ使得|AB| ?λ的直线l恰有32
条，则λ= ．
2b2
解：右支内最短的焦点弦==4．又2a=2，故与左、右两支相交的焦点弦长≥2a=2，这样的弦由对
a
称性有两条．故λ=4时
2ab24
设AB的倾斜角为θ，则右支内的焦点弦λ=222=≥4，当θ=90°时，λ=4．
a－ccosθ1－3cos2θ
22ab2??4??=4．故λ=4． 与左支相交时，θ=±arccos时，λ=222=23?a－ccosθ??1－3cosθ?1
3．已知复数z满足?2z+?=1，则z的幅角主值范围是 ．
?z?
?2z+1?=1?4r4+(4cos2θ－1)r2+1=0，解：这个等式成立等价于关于x的二次方程4x2+(4cos2θ－1)x+1=0?z?4cos2θ－11
有正根．△=(4cos2θ－1)2－16≥0，由x1x2=>0，故必须x1+x2=－>0．
44
333
∴cos2θ≤－．∴ (2k+1)π－arccos≤2θ≤(2k+1)π+arccos．
444π13π13
∴ kπ+－arccos≤θ≤kπ++arccos，(k=0，1)
224224
4．已知三棱锥S?ABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，SA=SB=SC=2，AB=2，设S、A、B、C四点均在以O为球心的某个球面上，则点O到平面ABC的距离为 ．
S解：SA=SB=SC=2，S在面ABC上的射影为AB中点H，∴ SH⊥平面ABC．
2∴ SH上任意一点到A、B、C的距离相等． 2M∵ SH=3，CH=1，在面SHC内作SC的垂直平分线MO与SH交于O，则O为O2CA2331SABC的外接球球心．SM=1，∴SO=，∴ OH=，即为O与平面ABC的距离． H33B
5．设ABCDEF为正六边形，一只青蛙开始在顶点A处，它每次可随意地跳到相
邻两顶点之一．若在5次之内跳到D点，则停止跳动；若5次之内不能到达D点，则跳完5次也停止跳动，那么这只青蛙从开始到停止，可能出现的不同跳法共 种．
解：青蛙跳5次，只可能跳到B、D、F三点(染色可证)． 青蛙顺时针跳1次算+1，逆时针跳1次算－1，写5个“□1”，在□中填“+”号或“－”号： □1□1□1□1□1
规则可解释为：前三个□中如果同号，则停止填写；若不同号，则后2个□中继续填写符号．
前三□同号的方法有2种；前三个□不同号的方法有23－2=6种，后两个□中填号的方法有22种． ∴ 共有2+6×4=26种方法．
6．设a ?logz+log[x(yz)?1+1]，b ?logx?1+log(xyz+1)，c ?logy+log[(xyz)?1+1]，记a，b，c中最大数为M，则M的最小值为 ．
x11
解：a=log(+z)，b=log(yz+)，c=log(+y)．
yxyz11
∴ a+c=log(++yz+x)≥2log2．于是a、c中必有一个≥log2．即M≥log2，于是M的最小值≥log2．
yzx
但取x=y=z=1，得a=b=c=log2．即此时M=log2．于是M的最小值≤log2． ∴ 所求值=log2． 三、（本题满分20分）
设x≥y≥z≥，且x+y+z=，求乘积cosx siny cosz的最大值和最小值．
122
解：由于x≥y≥z≥，故≤x≤ －×2=．
1262123
1111?1
∴ cosx siny cosz=cosx×[sin(y+z)+sin(y－z)]=cos2x+cosxsin(y－z)≥cos2 = ．即最小值．
222238
1???? (由于 ≤x≤ ，y≥z，故cosxsin(y－z)≥0)，当y=z= ，x= 时，cosx siny cosz= ．
631238
?????
1997年全国高中数学联赛试题及解答
