(Ⅲ) 证明:对一切正整数n,有【解析】(Ⅰ) 依题意,2S1?a2?1117?????. a1a2an412?1?,又S1?a1?1,所以a2?4； 331322 (Ⅱ) 当n?2时,2Sn?nan?1?n?n?n,
3312322Sn?1??n?1?an??n?1???n?1???n?1?
33122 两式相减得2an?nan?1??n?1?an??3n?3n?1???2n?1??
33aaaa 整理得?n?1?an?nan?1?n?n?1?,即n?1?n?1,又2?1?1
n?1n21 故数列?所以
a1?an??1,公差为1的等差数列, 是首项为?1?n?an?1??n?1??1?n,所以an?n2. n1711157 (Ⅲ) 当n?1时,?1?；当n?2时,??1???；
a14a1a2444 当n?3时,
11111?2???,此时 ann?n?1?nn?1n11111111?11??11?1??1?????1??2?2???2?1???????????????a1a2an434n4?23??34??n?1n? ?1?111717????? 42n4n41117综上,对一切正整数n,有?????.
a1a2an420．（本小题满分14分）
已知抛物线C的顶点为原点,其焦点F?0,c??c?0?到直线l:x?y?2?0的距离为
32.设P为直线l上的点,过点P作抛物线C的两条切线PA,PB,其中A,B为切点. 2(Ⅰ) 求抛物线C的方程；
(Ⅱ) 当点P?x0,y0?为直线l上的定点时,求直线AB的方程； (Ⅲ) 当点P在直线l上移动时,求AF?BF的最小值. 【解析】(Ⅰ) 依题意,设抛物线C的方程为x?4cy,由解得c?1.
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20?c?22?32结合c?0, 2
所以抛物线C的方程为x2?4y. (Ⅱ) 抛物线C的方程为x2?4y,即y?设A?x1,y1?,B?x2,y2?121x,求导得y??x 42x12x22,y2?(其中y1?),则切线PA,PB的斜率分别为4411x1,x2,
22x1x12x1x??y1,即x1x?2y?2y1?0 所以切线PA的方程为y?y1??x?x1?,即y?222同理可得切线PB的方程为x2x?2y?2y2?0
因为切线PA,PB均过点P?x0,y0?,所以x1x0?2y0?2y1?0,x2x0?2y0?2y2?0 所以?x1,y1?,?x2,y2?为方程x0x?2y0?2y?0的两组解. 所以直线AB的方程为x0x?2y?2y0?0.
(Ⅲ) 由抛物线定义可知AF?y1?1,BF?y2?1, 所以AF?BF??y1?1??y2?1??y1y2??y1?y2??1
?x0x?2y?2y0?0222联立方程?2,消去x整理得y??2y0?x0?y?y0?0
?x?4y由一元二次方程根与系数的关系可得y1?y2?x02?2y0,y1y2?y02
所以AF?BF?y1y2??y1?y2??1?y0?x0?2y0?1
22又点P?x0,y0?在直线l上,所以x0?y0?2,
1?9?所以y0?x0?2y0?1?2y0?2y0?5?2?y0???
2?2?19所以当y0??时, AF?BF取得最小值,且最小值为.
22222221．（本小题满分14分）
设函数f?x???x?1?e?kx(其中k?R).
x2 (Ⅰ) 当k?1时,求函数f?x?的单调区间；
?1?,1?时,求函数f?x?在?0,k?上的最大值M. ?2?【解析】(Ⅰ) 当k?1时,
(Ⅱ) 当k??f?x???x?1?ex?x2,f??x??ex??x?1?ex?2x?xex?2x?x?ex?2?
令f??x??0,得x1?0,x2?ln2 当x变化时,f??x?,f?x?的变化如下表:
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x f??x? ???,0? ? ? 0 0 极大值 ?0,ln2? ? ? ln2 ?ln2,??? ? ? 0 极小值 f?x? 右表可知,函数f?x?的递减区间为?0,ln2?,递增区间为???,0?,?ln2,???.
xxxx (Ⅱ)f??x??e??x?1?e?2kx?xe?2kx?xe?2k,
??令f??x??0,得x1?0,x2?ln?2k?, 令g?k??ln?2k??k,则g??k??11?k?1??1??0,所以g?k?在?,1?上递增, kk?2?所以g?k??ln2?1?ln2?lne?0,从而ln?2k??k,所以ln?2k???0,k? 所以当x?0,ln?2k?时,f??x??0；当x?ln?2k?,??时,f??x??0；
????????k3令h?k???k?1?e?k?1,则h??k??k?e?3k?,
kk令??k??e?3k,则???k??e?3?e?3?0
kk3所以M?maxf?0?,f?k??max?1,?k?1?e?k
所以??k?在?3??1??1??,1?上递减,而??????1???e???e?3??0
2??2??2???1??1?,1?使得??x0??0,且当k??,x0?时,??k??0, ?2??2?所以存在x0??当k??x0,1?时,??k??0,
所以??k?在?,x0?上单调递增,在?x0,1?上单调递减. 因为h??1?2??17?1???e??0,h?1??0, ?228??所以h?k??0在??1?,1?上恒成立,当且仅当k?1时取得“?”. ?2?k3综上,函数f?x?在?0,k?上的最大值M??k?1?e?k.
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2013广东高考数学（理科）试题及详解
