2013广东高考数学（理科）试题及详解
参考公式:台体的体积公式V?积,h表示台体的高.
1S1?S1S2?S2h,其中S1,S2分别是台体的上、下底面3??一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
221．设集合M?x|x?2x?0,x?R,N?x|x?2x?0,x?R,则M?N?( )
???
?A . ?0? B．?0,2? C．??2,0? D．??2,0,2?
【解析】D；易得M???2,0?,N??0,2?,所以M?N???2,0,2?,故选D．
2．定义域为R的四个函数y?x3,y?2x,y?x2?1,y?2sinx中,奇函数的个数是( )
A . 4 B．3
C．2
D．1
【解析】C；考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为y?x3与y?2sinx,故选C．3．若复数z满足iz?2?4i,则在复平面内,z对应的点的坐标是( )
A . ?2,4? B．?2,?4? 【解析】C；z? C．?4,?2?
D．?4,2?
2?4i?4?2i对应的点的坐标是?4,?2?,故选C． i4．已知离散型随机变量X的分布列为
3 X 1 2
331 P
51010 则X的数学期望EX? ( )
1 35A . B．2 C． D．3
222 331153?3???,故选A． 【解析】A；EX?1??2?510101025．某四棱台的三视图如图所示,则该四棱台的体积是 ( )
A . 4 B．C．
14 3正视图
2 侧视图
1 16 3 D．6
1 俯视图
第5题图
【解析】B；由三视图可知,该四棱台的上下底面边长分别为
1和2的正方形,高为2,故V?12141?12?22?22?2?,,故选B． 33 B．若?//?,m??,n??,则m//n D．若m??,m//n,n//?,则???
??6．设m,n是两条不同的直线,?,?是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A . 若???,m??,n??,则m?n C．若m?n,m??,n??,则??? 【解析】D；ABC是典型错误命题,选D．
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7．已知中心在原点的双曲线C的右焦点为F?3,0?,离心率等于( )
3,在双曲线C的方程是 2x2y2A . ??1
45x2y2x2y2 B．??1 C．??1
4525x2y2 D．??1
25【解析】B；依题意c?3,e?3,所以a?2,从而a2?4,b2?c2?a2?5,故选B． 28．设整数n?4,集合X??1,2,3,?,n?.令集合
S???x,y,z?|x,y,z?X,且三条件x?y?z,y?z?x,z?x?y恰有一个成立?
若?x,y,z?和?z,w,x?都在S中,则下列选项正确的是( )
A . ?y,z,w??S,?x,y,w??S
C．?y,z,w??S,?x,y,w??S
D．?y,z,w??S,?x,y,w??S
【解析】B；特殊值法,不妨令x?2,y?3,z?4,w?1,则
B．?y,z,w??S,?x,y,w??S
?y,z,w???3,4,1??S,?x,y,w???2,3,1??S,故选B．
如果利用直接法:因为?x,y,z??S，?z,w,x??S，所以x?y?z?①，y?z?x?②，z?x?y?③三个式子中恰有一个成立；z?w?x?④，w?x?z?⑤，x?z?w?⑥
三个式子中恰有一个成立.配对后只有四种情况：第一种：①⑤成立，此时w?x?y?z，于是?y,z,w??S，第二种：①⑥成立，此时x?y?z?w，于是?y,z,w??S，?x,y,w??S；
?x,y,w??S；第三种：②④成立，此时y?z?w?x，于是?y,z,w??S，?x,y,w??S；第四种：③④成立，此时z?w?x?y，于是?y,z,w??S，?x,y,w??S.综合上述四种情况，可得?y,z,w??S，?x,y,w??S.
二、填空题：本题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，共30分 (一)必做题(9～13题)
9．不等式x?x?2?0的解集为___________．
【解析】??2,1?；易得不等式x2?x?2?0的解集为??2,1?. 10．若曲线y?kx?lnx在点?1,k?处的切线平行于x轴,则k?______.
2开始 输入n i?1,s?1 否 1i?n【解析】?1；求导得y??k?,依题意k?1?0,所以k??1.
x是 ns11．执行如图所示的程序框图,若输入的值为4,则输出的值为______. s?s??i?1? 【解析】7；第一次循环后:s?1,i?2；第二次循环后:s?2,i?3；
第三次循环后:s?4,i?4；第四次循环后:s?7,i?5；故输出7. 12. 在等差数列?an?中,已知a3?a8?10,则3a5?a7?_____.
i?i?1 输出s 结束 第11题图 数学资源网http://shuxue2013.com/ 全部免费 无须注册 点击下载
20；【解析】依题意2a1?9d?10,所以3a5?a7?3?a1?4d??a1?6d?4a1?18d?20.
或:3a5?a7?2?a3?a8??20
y 4 ?x?4y?4?13. 给定区域D:?x?y?4,令点集T?{?x0,y0??D|x0,y0?Z,?x0,y0? ?x?0?是z?x?y在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定______ 条不同的直线.
1 O 4 【解析】6；画出可行域如图所示,其中z?x?y取得最小值时的整点为?0,1?,取得最大值时的整点为?0,4?,?1,3?,?2,2?,?3,1?及?4,0?共5个整点.故可确定5?1?6条不同的直线.
（二）选做题（14、15题,考生只能从中选做一题,两题全答的,只计前一题的得分）
??x?2cost14.(坐标系与参数方程选讲选做题)已知曲线C的参数方程为?(t为参数),C??y?2sint在点?1,1?处的切线为l,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则l的极坐标方程为_____________. 【解析】?sin???????曲线C的普通方程为x2?y2?2,其在点?1,1?处的切线l的??2；4?方程为x?y?2,对应的极坐标方程为?cos???sin??2,即?sin???15. (几何证明选讲选做题)如图,AB是圆O的直径,点C在圆O上, 延长BC到D使BC?CD,过C作圆O的切线交AD于E.若
????A ??2. 4?E
O D C B 第15题图
AB?6,ED?2,则BC?_________.
ABBC?【解析】23；依题意易知?ABC??CDE,所以,又 CDDE. BC?CD,所以BC?AB?DE?12,从而BC?23. 2三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?(Ⅰ) 求f?????2cos?x??,x?R.
12??3????3??cos??的值； (Ⅱ) 若,??,2??,求??5?6??2????f?2???．
3??【解析】(Ⅰ)f??????????????2cos???2cos??2cos?1； ?????661244??????数学资源网http://shuxue2013.com/ 全部免费 无须注册 点击下载
(Ⅱ) f??2????3???2cos???2?????????3?12???2cos??2??4???cos2??sin2? 因为cos??35,????3??2,2????,所以sin???45,
所以sin2??2sin?cos???2425,cos2??cos2??sin2???725 所以f??2???3???cos2??sin2???7?24?17??25????25???25. 17．（本小题满分12分）
某车间共有12名工人,随机抽取6名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.
(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；
1 7 9 (Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人. 2 0 1 根据茎叶图推断该车间12名工人中有几名优秀工人；
3 0
(Ⅲ) 从该车间12名工人中,任取2人,求恰有1名优秀 第17题图工人的概率.
【解析】(Ⅰ) 样本均值为
17?19?20?21?25?306?1326?22；
(Ⅱ) 由(Ⅰ)知样本中优秀工人占的比例为21
6?3
,故推断该车间12名工人中有
12?13?4名优秀工人.
(Ⅲ) 设事件A:从该车间12名工人中,任取2人,恰有1名优秀工人,则
?11P?A?C4C816C2?.
123318．（本小题满分14分）
如图1,在等腰直角三角形ABC中,?A?90?,BC?6,D,E分别是AC,AB上的点,CD?BE?2, O为BC的中点.将?ADE沿DE折起,得到如图2所示的四棱锥A??BCDE,其中
A?O?3. C
O . B
A?
D E C
A O D B E
图1
图2
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5
(Ⅰ) 证明:A?O?平面BCDE；
(Ⅱ) 求二面角A??CD?B的平面角的余弦值.
【解析】(Ⅰ) 在图1中,易得OC?3,AC?32,AD?22 连结OD,OE,在?OCD中,由余弦定理可得
C D H
O E
B A?
OD?OC?CD?2OC?CDcos45??5 由翻折不变性可知A?D?22,
所以A?O2?OD2?A?D2,所以A?O?OD,
22理可证A?O?OE, 又OD?OE?O,所以A?O?平面BCDE. (Ⅱ) 传统法:过O作OH?CD交CD的延长线于H,连结A?H, 因为A?O?平面BCDE,所以A?H?CD, 所以?A?HO为二面角A??CD?B的平面角. 结合图1可知,H为AC中点,故OH?所以cos?A?HO?3230,从而A?H?OH2?OA?2? 22OH1515,所以二面角A??CD?B的平面角的余弦值为. ?A?H55z A? 向量法:以O点为原点,建立空间直角坐标系O?xyz如图所示, 则A?0,0,3,C?0,?3,0?,D?1,?2,0?
????????????所以CA?0,3,3,DA???1,2,3 C O ?D E 设n??x,y,z?为平面A?CD的法向量,则 ?????x 向量法图 ?????n?CA??0?3y?3z?0?y??x,即?,解得?,令x?1,得n?1,?1,3 ???????????z?3x?n?DA??0??x?2y?3z?0????由(Ⅰ) 知,OA??0,0,3为平面CDB的一个法向量,
??????????n?OA?315所以cosn,OA????????,即二面角A??CD?B的平面角的余弦?53?5nOA?????B y ????值为15. 519．（本小题满分14分）
设数列?an?的前n项和为Sn.已知a1?1,(Ⅰ) 求a2的值；
(Ⅱ) 求数列?an?的通项公式；
2Sn12?an?1?n2?n?,n?N*. n33数学资源网http://shuxue2013.com/ 全部免费 无须注册 点击下载
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