数形结合思想例题分析
一、构造几何图形解决代数及三角问题： 1、证明恒等式：
222x?y?z,z?x2?r2?x2 yxrz例1 已知、、、均为正数，且
求证：rz
?xy.
yAzCxBr222222x?y?z,分析：由自然联想到勾股定理。由z?x?r?x.可以联
想到射影定理。从而可以作出符合题设条件的图形（如图）。对照图形，由直角三角形面积的两种算法，结论的正确性一目了然。
证明：（略）
小结：涉及到及平方有关的恒等式证明问题，可构造出及之对应的直角三角形或圆，然后利用图形的几何性质去解决恒等式的证明问题。
2、证明不等式：
例2 已知：0＜a＜1，0＜b＜1. 求证
a2?b2?(1?a)2?b2?a2?(1?b)2?(1?a)2?(1?b)2?22.
证明：如图，作边长为1的正方形ABCD，在AB上取点E，使AE=a；在AD上取点G，使AG=b，过E、G分别作EF//AD交CD于F；作GH//AB交BC于H。设EF及GH交于点O，连接AO、BO、CO、DO、AC、BD.
由题设及作图知△AOG、△BOE、△COF、△DOG均为直角三角形，因此
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OA?a2?b2 OB?(1?a)2?b2
OC?(1?a)2?(1?b)2OD?a2?(1?b)2且 AC?BD?
2
由于 OA?OC?AC,OB?OD?BD. 所以：
a2?b2?(1?a)2?b2?a2?(1?b)2?(1?a)2?(1?b)2?22.
当且仅当时，等号成立。
小结：在求证条件不等式时，可根据题设条件作出对应的图形，然后运用图形的几何性质或者平面几何的定理、公理去建立不等式使结论获证。
3、求参数的值或参数的取值范围：
例3 若方程ax求a的取值范围。
2y?ax?2x?1 （a＞0）的草图： 解析：画出及方程对应的二次函数
yy2?2x?1?0 （a＞0）的两根满足：x1＜1，1＜x2＜3，
0123x0123x
由图可知：当x=1时，
2
y＜0； 当x=3时，y＞0.
2即 a?1?2?1?1＜0 ； a?3?2?3?1＞0.
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5解得：＜a＜1.
9
例4 若关于x的不等式0?x?mx?2?1 的解集仅有一个元素，求m的值。
2y解：如图：在同一坐标系内，作出
y?1及
y?x2?mx?2的图象。题设条件等价于抛物线
y?x2?mx?2在直线y?0及y?1之间的带状区域
仅有一个交点，且抛物线开口向上。由图形的直观性质可知：
y=1这个交点只能在直线
y?1上，故方程组 仅有一组解。
0x???m2?4?1?0 即 m??2.
小结：对于含参方程（不等式），可将其及对应的函数（图象）联系起来，运用数形结合思想，去揭示问题中所蕴含的几何背景，往往能为解题提供清晰的思路。
4、求最值问题：
22aa?4?b?1的最小值。 例5 已知、b均为正数，且a?b?2.求
解：如图，作线段AB=2，在AB上截取AE=a，
CEB=b，过A作AC?AB，且AC=2，过B作BD?AB，且BD=1。由勾股定理：CE=最小值。
又如图，延长CA至G,使AG=AC，连接GE，由三角形两边之
2A22aD1BEb2Fa2?4，BD=b2?1，原题即求CE+ED的
和大于第三边，则G、E、D三点共线时，GE+ED=DG最短。作出G图形，延长DB至F，使BF//AG且BF=AG，连接GF.
则在Rt△DGF中，DF=1+2=3，GF=AB=2
?DG?DF2?GF2?32?22?13 2 / 6
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