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第八章 玻色统计和费米统计
8.4求弱简并理想费米(玻色)气体的压强公式． 解：理想费米(玻色)气体的巨配分函数满足
ln?????lln1?e?????l
l??在弱简并情况下：
2?v2?v3/23/22ln???g3?2m???1/2ln1?e?????ld???g3?2m???d??3/2?ln1?e?????l30hh0??????
2?v3/22???g3?2m????3/2ln1?e?????l3?h??????00?3/2?dln1?e?????l?
?????2?vd?3/22 ??g3?2m????3/2????l30he?1与（8.2.4）式比较，可知
ln??
再由（8.2.8）式，得
3/23/2??1N?h2??1?h2?????????NkT?1?? ln???NkT?1?????V2?mkT??2?mkT?????42???42???2?U 3?e??N?h2?????V?2?mkT??3/2
?3/2h2???N???? ????e??2?mkT???V??T???N?n V3/23/2??1?n?h2????N?n?h2?????????p?ln??kT?1???nkT?1???????V2?mkT????T?T2?mkT?????42???42??
8.10试根据热力学公式 S?熵。
解：(8-4-10)式给出光子气体的内能为U?4VT-------（1） 3315c?CV??U?C?dT及光子气体的热容量??，求光子气体的V?T??T?V?2k4?U4?2k4)V?VT3---------（2） 则可以得到光子气体的定容热容量为CV?(33?T15c?'.
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根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2-4-5），有
S??[CV?PdT?()VdV]?S0----------（3） T?T取积分路线为（0，V）至（T，V）的直线，即有
T4?2k44?2k423S?VTdT?VT----------------（4） 3333?015c?45c?其中已经取积分常量S0为零。
8.试证明一维和二维理想玻色气体不存在玻色凝聚现象．
证明：发生玻色凝聚时μ→0 ，因此临界温度Tc由下式决定：
1D???d??n …(1) ?/kTc?Ve?11/2对于一维和二维理想玻色气体，由第六章习题可知分别有：
2L?m? 一维：D???d????h?2??d???
2?L2md??? 二维：D???d??2h分别代入（1）式可知，若Tc取非零有限值，则当ε→0时积分均不收敛。 ?要求Tc＝0
但由于此时不存在T< Tc的状态，所以一维和二维理想波色气体不存在玻色凝聚现象，证毕。
8.14银的传导电子密度为5.9×1028/m3。试求0K时电子的最大能量、最大速率和电子气体的简并压。
解：0K时电子的最大能量
?2?2N???0???3??2m?V?2/3?1.055?10??3???342?3122?9.1?10?5.9?1028?2/3?8.9?10?19J?5.6eV
2??0?2?8.9?10?19J6?1最大速率 v? ??1.4?10m?s?31m9.1?102N??0?2??5.9?1028?2/38.9?10?19?2.1?1010Pa
5V58.15试求绝对零度下电子气体中电子的平均速率v。
0K时的简并压 p?????证明：根据式子（8-5-4），绝对零度下自由电子气体中电子动量大小的分布为 f=1 p?PF
f=0 p>PF -----------（1）
其中PF是费米动量，即0K时电子的最大动量。因此电子的平均动量为
'.
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8?V3hp?8?Vh3??PF0PF014PF34??PF--------------（2）
134P2dPPF3P3dP3Pp3??F?vF---------------（3） m4m4因此电子的平均速率为v?8.20假设自由电子在二维平面上运动，面密度为n．试求0 K时二维电子气体的费米能量、
内能和简并压．
解：考虑电子自旋有两种取向后，二维电子气体在ε→ ε + dε的能量范围内电子的量子态数为
4?L2D???d??2md?
h所以0K时电子的最大能量由下式确定：
??0??04?L2md??N 2hh2Nh2???0???n 24?mL4?m内能
??0?4?L2U?0??2mh2?04?L2?2?0?1?4?mL2?212????0? ?d??2m?N??0?N?2??22?hN?2h对于二维电子气体，V＝L2
1?2???2?12 ?L??2???2nx2?ny2??nx?ny??2m?L??2m???????V??1
?l??L?1?2???2nx2?ny2???V?2?????VV?2m???
所以
0K时的简并压p???all???LU1??all??n??0? ?VVV2l
8.22试根据热力学公式 S?CV?TdT及低温下的热容量，求金属中自由电子气体的熵。
解：根据式（8-5-19）给出低温下金属中自由电子气体的定容热容量为
?2kTCV?Nk--------------(1)
2?(0)根据热力学关于均匀系统熵的积分表达式（2-4-5），有
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热力学统计物理 课后习题 答案
