这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！
4.4.3 参数方程的应用
练习
?x?4cos?，1．过点M(2,1)作曲线C：?(θ为参数)的弦，使M为弦的中点，则此弦所
y?4sin??在直线方程为__________．
22
2．如图，由圆x＋y＝9上的点M向x轴作垂线，交x轴于点N，设P是MN的中点，则点P的轨迹的参数方程是__________．
3．点P(x，y)在椭圆4x＋y＝4上，则x＋y的最大值为________，最小值为________．
2
2
??x?32cos?，4．椭圆?(φ为参数)的焦距是__________．
??y?23sin??x?4sin??5．参数方程?(θ为参数)表示的曲线为__________．
y?5cos???x?tcos???x?4?2cos?,6．直线?(θ为参数，θ∈[0，π))和圆?(α为参数)相切，
?y?tsin??y?2sin?则θ＝__________.
x2y2??1的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，则7．已知A，B分别是椭圆
369△ABC的重心G的轨迹的参数方程是__________．
x22
8．如图，已知椭圆＋y＝1上任一点M(除短轴端点外)与短轴两端点B1，B2的连线
4分别交x轴于P，Q两点，求|OP|·|OQ|的值．
9．设点M(x，y)在圆x＋y＝1上移动，求： (1)点P(x＋y，xy)的轨迹；
(2)点Q(x(x＋y)，y(x＋y))的轨迹．
22
10．已知双曲线方程为x－y＝1，M为双曲线上任意一点，点M到两条渐近线的距离分别为d1和d2，求证：d1与d2的乘积是常数．
22
看人生峰高处，唯有磨难多正果。 1
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参考答案
1. 答案：2x＋y－5＝0
22
解析：把曲线C的参数方程化为普通方程为x＋y＝16，表示圆心在原点，半径r＝4的圆，∴过点M的弦与线段OM垂直．又kOM?1， 2∴弦所在直线的斜率为－2，
∴直线方程为y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.
?x?3cos?，?2. 答案：?(θ为参数) 3y?sin???2?x?3cos?，22
解析：圆x＋y＝9的参数方程为?(θ为参数)．∴设M(3cos θ，3sin θ)，
y?3sin??P(x，y)，则N(3cos θ，0)．
3cos??3cos??x??3cos?，??2∴? (θ为参数)．
3sin?3?y??sin???223. 答案：5 ?5 y2?1上，所以可设P点的坐标为(cos θ，2sin θ)，即解析：因为P点在椭圆x?42x＝cos θ，y＝2sin θ，
所以x＋y＝cos θ＋2sin θ＝5sin(θ＋φ)，其中tan ??1. 2因为sin(θ＋φ)∈[－1,1]，所以x＋y的最大值为5，最小值为?5. 4. 答案：26
解析：根据参数方程，可知a?32，b?23， ∴c?(32)?(23)?18?12?6， ∴焦距为2c?26. 5. 答案：椭圆 解析：参数方程?22?x?4sin??(θ为参数)，
y?5cos??x?①sin??,??4(?为参数). 可化为?y?cos??②?5?x2y222
??1，所以曲线为椭圆． ①＋②，得
1625π5π6. 答案：或
66解析：直线的参数方程化为普通方程为y＝xtan θ，圆的参数方程化为普通方程为(x22
－4)＋y＝4.
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由直线与圆相切得圆心到直线的距离d?∴??
|4tan??0|tan2??1?2，得tan???3， 3π5π或. 66?x?2?2cos???π?7. 答案：??为参数，???且????
y?1?sin?2???解析：由于动点C在该椭圆上运动，故可设点C的坐标为(6cos θ，3sin θ)，重心G的坐标为(x，y)，则由题意可知点A(6,0)，B(0,3)，由重心坐标公式可知有
???x?6?0?6cos??2?2cos?，?3??为参数，???且??π?. ????y?0?3?3sin?3?1?sin??2??8. 解：设M(2cos φ，sin φ)， 由题意得B1(0，－1)，B2(0,1)． 则MBsin??11的方程为y?1?2cos?x，
令y＝0，则x?2cos?2cos?sin??1，即|OP|?1?sin?.
MBsin??12的方程为y?1?2cos?x，∴|OQ|?2cos?1?sin?.
∴|OP||?OQ|?2cos?2cos?1?sin??1?sin??4.
9. 解：(1)设点M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点P(x′，y′)，
则??x??cos??sin??????????????????①?y??cos?sin?????????????????????②
①2
－2×②，得x′2
－2y′＝1，即x'2?2??y??1??2??， ∴所求点P的轨迹为抛物线x2?2??1?1??y??2??的一部分??|x|?2，|y|?2??. (2)设M(cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q(x1，y1)，
则???x21=cos??cos??sin???cos??cos?sin?,??y1=sin??cos??sin???sin?cos??sin2?, ?x1?y1?1?sin2?,∴????x1y1?12sin2??12sin22?. 22将sin 2θ＝x1＋y1－1代入另一个方程，整理得???x?1??1?112?????y1?2???2.
∴所求点Q的轨迹是以??1?2,1?2??为圆心，以22为半径的圆．
10. 证明：设d1为点M到渐近线y＝x的距离，d2为点M到渐近线y＝－x的距离，看人生峰高处，唯有磨难多正果。 3
这世上有两样东西是别人抢不走的：一是藏在心中的梦想，二是读进大脑的知识！
因为点M在双曲线x2－y2
＝1上，则可设点M的坐标为??1?cos?,tan????.
1?tan1d?cos??cos??tan?12，d2?2，
12?tan2?dcos?11?d2?2?2，
故d1与d2的乘积是常数．
看人生峰高处，唯有磨难多正果。 4
(新)高中数学4_4参数方程4_4_3参数方程的应用课后训练苏教版选修4-41
