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第五节 二项分布与正态分布
考点一 条件概率与相互独立事件的概率
1．(2015·新课标全国Ⅰ，4)投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A．0.648
B．0.432
C．0.36
D．0.312
2解析 该同学通过测试的概率为p＝0.6×0.6＋C12×0.4×0.6＝0.648.
答案 A
2．(2014·新课标全国Ⅱ，5)某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A．0.8
B．0.75
C．0.6
D．0.45
0.6
解析 由条件概率可得所求概率为0.75＝0.8，故选A. 答案 A
3.(2011·湖南，15)如图，EFGH是以O为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”，则 (1)P(A)＝________. (2)P(B|A)＝________.
解析 圆的半径为1，正方形的边长为2，∴圆的面积为π，正方形面积为2，π2扇形面积为4.故P(A)＝，
π12
P（A∩B）π1
P(B|A)＝＝2＝4.
P（A）
π
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世纪金榜 圆您梦想 更多精品资源请登录www.jb1000.com 答案 (1)
21 (2)4 π
4．(2014·陕西，19)在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：
作物产量(kg) 概率 作物市场价格(元/kg) 概率 300 0.5 6 0.4 500 0.5 10 0.6 (1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润，求X的分布列；
(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于 2 000元的概率．
解 (1)设A表示事件“作物产量为300 kg”，B表示事件“作物市场价格为 6元/kg”，由题设知P(A)＝0.5，P(B)＝0.4， 因为利润＝产量×市场价格－成本， 所以X所有可能的取值为
500×10－1 000＝4 000，500×6－1 000＝2 000， 300×10－1 000＝2 000，300×6－1 000＝800. P(X＝4 000)＝P(A)P(B)＝(1－0.5)×(1－0.4)＝0.3，
P(X＝2 000)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)＝(1－0.5)×0.4＋0.5×(1－0.4)＝0.5， P(X＝800)＝P(A)P(B)＝0.5×0.4＝0.2， 所以X的分布列为
X P 4 000 0.3 2 000 0.5 800 0.2 (2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i＝1，2，3)， 由题意知C1，C2，C3相互独立，由(1)知，
P(Ci)＝P(X＝4 000)＋P(X＝2 000)＝0.3＋0.5＝0.8(i＝1，2，3)， 3季的利润均不少于2 000元的概率为
第2页（共8页） 山东世纪金榜科教文化
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世纪金榜 圆您梦想 更多精品资源请登录www.jb1000.com P(C1C2C3)＝P(C1)P(C2)P(C3)＝0.83＝0.512；
3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＋P(C1C2C3)＝3×0.82×0.2＝0.384，
所以，这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512＋0.384＝0.896. 5．(2013·辽宁，19)现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答．
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率；
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题．设张同学答对每道甲类题34
的概率都是5，答对每道乙类题的概率都是5，且各题答对与否相互独立．用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望．
解 (1)设事件A＝“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”，则有A＝“张同学所取的3道题都是甲类题”． C316因为P(A)＝3＝，
C1065
所以P(A)＝1－P(A)＝6.
(2)X所有的可能取值为0，1，2，3.
0?3?P(X＝0)＝C2·?5?4?2?21
·?5?·5＝125； ????
0?2?2428?2?110?3?·?5?·5＋C2?5?·?5?·5＝125； ????????1?2?1457?2?011?3?·?5?·5＋C2?5?·?5?·5＝125； ?????????2?0436
·?5?·5＝125. ????221
0
1?3?P(X＝1)＝C2·?5?2?3?P(X＝2)＝C2·?5?2?3?P(X＝3)＝C2·?5?所以X的分布列为：
X P 0 4 1251 28 1252 57 1253 36 125第3页（共8页） 山东世纪金榜科教文化
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所以E(X)＝0×125＋1×125＋2×125＋3×125＝2.
3
6．(2012·山东，19)现有甲、乙两个靶，某射手向甲靶射击一次，命中的概率为4，2
命中得1分，没有命中得0分；向乙靶射击两次，每次命中的概率为3，每命中一次得2分，没有命中得0分．该射手每次射击的结果相互独立．假设该射手完成以上三次射击．
(1)求该射手恰好命中一次的概率；
(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X)．
解 (1)记：“该射手恰好命中一次”为事件A，“该射手射击甲靶命中”为事件B，“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C，“该射手第二次射击乙靶命32中”为事件D，由题意知P(B)＝4，P(C)＝P(D)＝3，由于A＝BCD＋BCD＋
BCD，根据事件的独立性和互斥性得P(A)＝P(BC D＋B C D＋BCD)＝P(B CD)＋P(BCD)＋P(BCD)
2??2?3?
＝P(B)P(C)P(D)＋P(B)P(C)P(D)＋P(B)P(C)P(D)＝4×?1－3?×?1－3?＋
????
3?2?2??3??2?27?
?1－4?××?1－3?＋?1－4?×?1－3?×＝. ??3??????336(2)根据题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5. 根据事件的独立性和互斥性得 P(X＝0)＝P(BCD)
＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)] 2??2?13?
＝(1－4)×?1－3?×?1－3?＝36，
????P(X＝1)＝P(B C D) ＝P(B)P(C)P(D)
2??2?13?
＝4×?1－3?×?1－3?＝12，
????P(X＝2)＝P(B C D＋B C D) ＝P(BCD)＋P(BCD)
第4页（共8页） 山东世纪金榜科教文化
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世纪金榜 圆您梦想 更多精品资源请登录www.jb1000.com 3?2?2??1－1－???＝＋ 4?×3×?3???3??2?21?
?1－4?×?1－3?×＝， ????39P(X＝3)＝P(BCD＋B CD) ＝P(BCD)＋P(BCD)
2?3?2?2132?
＝4×3×?1－3?＋4×?1－3?×3＝3，
????
3?221?
P(X＝4)＝P(BCD)＝?1－4?×3×3＝9，
??3221
P(X＝5)＝P(BCD)＝4×3×3＝3. 故X的分布列为
X P 0 136 1 112 2 19 3 13 4 19 5 13 11111141
所以E(X)＝0×36＋1×12＋2×9＋3×3＋4×9＋5×3＝12.
7．(2011·大纲全国，18)根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立． (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数．求X的期望．
解 设A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B， P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，X～B(100，0.2)，即X服从二项分布， 所以期望E(X)＝100×0.2＝20. 考点二 正态分布
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五年高考真题（数学理） 10.5二项分布与正态分布
