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第五节 二项分布与正态分布
考点一 条件概率与相互独立事件的概率
1.(2015·新课标全国Ⅰ,4)投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( ) A.0.648
B.0.432
C.0.36
D.0.312
2解析 该同学通过测试的概率为p=0.6×0.6+C12×0.4×0.6=0.648.
答案 A
2.(2014·新课标全国Ⅱ,5)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是0.75,连续两天为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是( ) A.0.8
B.0.75
C.0.6
D.0.45
0.6
解析 由条件概率可得所求概率为0.75=0.8,故选A. 答案 A
3.(2011·湖南,15)如图,EFGH是以O为圆心,半径为1的圆的内接正方形.将一颗豆子随机地扔到该圆内,用A表示事件“豆子落在正方形EFGH内”,B表示事件“豆子落在扇形OHE(阴影部分)内”,则 (1)P(A)=________. (2)P(B|A)=________.
解析 圆的半径为1,正方形的边长为2,∴圆的面积为π,正方形面积为2,π2扇形面积为4.故P(A)=,
π12
P(A∩B)π1
P(B|A)==2=4.
P(A)
π
第1页(共8页) 山东世纪金榜科教文化
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世纪金榜 圆您梦想 更多精品资源请登录www.jb1000.com 答案 (1)
21 (2)4 π
4.(2014·陕西,19)在一块耕地上种植一种作物,每季种植成本为1 000元,此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性,且互不影响,其具体情况如下表:
作物产量(kg) 概率 作物市场价格(元/kg) 概率 300 0.5 6 0.4 500 0.5 10 0.6 (1)设X表示在这块地上种植1季此作物的利润,求X的分布列;
(2)若在这块地上连续3季种植此作物,求这3季中至少有2季的利润不少于 2 000元的概率.
解 (1)设A表示事件“作物产量为300 kg”,B表示事件“作物市场价格为 6元/kg”,由题设知P(A)=0.5,P(B)=0.4, 因为利润=产量×市场价格-成本, 所以X所有可能的取值为
500×10-1 000=4 000,500×6-1 000=2 000, 300×10-1 000=2 000,300×6-1 000=800. P(X=4 000)=P(A)P(B)=(1-0.5)×(1-0.4)=0.3,
P(X=2 000)=P(A)P(B)+P(A)P(B)=(1-0.5)×0.4+0.5×(1-0.4)=0.5, P(X=800)=P(A)P(B)=0.5×0.4=0.2, 所以X的分布列为
X P 4 000 0.3 2 000 0.5 800 0.2 (2)设Ci表示事件“第i季利润不少于2 000元”(i=1,2,3), 由题意知C1,C2,C3相互独立,由(1)知,
P(Ci)=P(X=4 000)+P(X=2 000)=0.3+0.5=0.8(i=1,2,3), 3季的利润均不少于2 000元的概率为
第2页(共8页) 山东世纪金榜科教文化
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世纪金榜 圆您梦想 更多精品资源请登录www.jb1000.com P(C1C2C3)=P(C1)P(C2)P(C3)=0.83=0.512;
3季中有2季的利润不少于2 000元的概率为P(C1C2C3)+P(C1C2C3)+P(C1C2C3)=3×0.82×0.2=0.384,
所以,这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率为0.512+0.384=0.896. 5.(2013·辽宁,19)现有10道题,其中6道甲类题,4道乙类题,张同学从中任取3道题解答.
(1)求张同学至少取到1道乙类题的概率;
(2)已知所取的3道题中有2道甲类题,1道乙类题.设张同学答对每道甲类题34
的概率都是5,答对每道乙类题的概率都是5,且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数,求X的分布列和数学期望.
解 (1)设事件A=“张同学所取的3道题至少有1道乙类题”,则有A=“张同学所取的3道题都是甲类题”. C316因为P(A)=3=,
C1065
所以P(A)=1-P(A)=6.
(2)X所有的可能取值为0,1,2,3.
0?3?P(X=0)=C2·?5?4?2?21
·?5?·5=125; ????
0?2?2428?2?110?3?·?5?·5+C2?5?·?5?·5=125; ????????1?2?1457?2?011?3?·?5?·5+C2?5?·?5?·5=125; ?????????2?0436
·?5?·5=125. ????221
0
1?3?P(X=1)=C2·?5?2?3?P(X=2)=C2·?5?2?3?P(X=3)=C2·?5?所以X的分布列为:
X P 0 4 1251 28 1252 57 1253 36 125第3页(共8页) 山东世纪金榜科教文化
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所以E(X)=0×125+1×125+2×125+3×125=2.
3
6.(2012·山东,19)现有甲、乙两个靶,某射手向甲靶射击一次,命中的概率为4,2
命中得1分,没有命中得0分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为3,每命中一次得2分,没有命中得0分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击.
(1)求该射手恰好命中一次的概率;
(2)求该射手的总得分X的分布列及数学期望E(X).
解 (1)记:“该射手恰好命中一次”为事件A,“该射手射击甲靶命中”为事件B,“该射手第一次射击乙靶命中”为事件C,“该射手第二次射击乙靶命32中”为事件D,由题意知P(B)=4,P(C)=P(D)=3,由于A=BCD+BCD+
BCD,根据事件的独立性和互斥性得P(A)=P(BC D+B C D+BCD)=P(B CD)+P(BCD)+P(BCD)
2??2?3?
=P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)+P(B)P(C)P(D)=4×?1-3?×?1-3?+
????
3?2?2??3??2?27?
?1-4?××?1-3?+?1-4?×?1-3?×=. ??3??????336(2)根据题意,X的所有可能取值为0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得 P(X=0)=P(BCD)
=[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)] 2??2?13?
=(1-4)×?1-3?×?1-3?=36,
????P(X=1)=P(B C D) =P(B)P(C)P(D)
2??2?13?
=4×?1-3?×?1-3?=12,
????P(X=2)=P(B C D+B C D) =P(BCD)+P(BCD)
第4页(共8页) 山东世纪金榜科教文化
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世纪金榜 圆您梦想 更多精品资源请登录www.jb1000.com 3?2?2??1-1-???=+ 4?×3×?3???3??2?21?
?1-4?×?1-3?×=, ????39P(X=3)=P(BCD+B CD) =P(BCD)+P(BCD)
2?3?2?2132?
=4×3×?1-3?+4×?1-3?×3=3,
????
3?221?
P(X=4)=P(BCD)=?1-4?×3×3=9,
??3221
P(X=5)=P(BCD)=4×3×3=3. 故X的分布列为
X P 0 136 1 112 2 19 3 13 4 19 5 13 11111141
所以E(X)=0×36+1×12+2×9+3×3+4×9+5×3=12.
7.(2011·大纲全国,18)根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率;
(2)X表示该地的100位车主中,甲、乙两种保险都不购买的车主数.求X的期望.
解 设A表示事件:该地的1位车主购买甲种保险;
B表示事件:该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险; C表示事件:该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种; D表示事件:该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买. (1)P(A)=0.5,P(B)=0.3,C=A+B, P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)=0.8.
(2)D=C,P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2,X~B(100,0.2),即X服从二项分布, 所以期望E(X)=100×0.2=20. 考点二 正态分布
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五年高考真题(数学理) 10.5二项分布与正态分布
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