激光原理第二章答案

由天下分享时间：2025/2/26 4:43:38 加入收藏我要投稿点赞

第二章开放式光腔与高斯光束

?1 0??。 1. 证明如图2.1所示傍轴光线进入平面介质界面的光线变换矩阵为??1?0 ??2????

证明：设入射光线坐标参数为r1, ?1，出射光线坐标参数为r2, ?2，根据几何关系可知

r2?r1, ?1sin?1??2sin?2 傍轴光线sin??则?1?1??2?2，写成矩阵形式

?1 0??r2????r1? 得证 ??????0 1?????2???1??2????1?1 ?22. 证明光线通过图2.2所示厚度为d的平行平面介质的光线变换矩阵为????0 1?d?。 ???

证明：设入射光线坐标参数为r1, ?1，出射光线坐标参数为r2, ?2，入射光线首先经界面1折射，然后在介质2中自由传播横向距离d，最后经界面2折射后出射。根据1题的结论和自由传播的光线变换矩阵可得

?1??1 0??1 0??1 d??r1?rrr1 d?2???1??2????????2???得证。 ?????0 ?2??0 1??0 ?1???? 化简后?????????2???1??2??0 1???1??????1??2???3．试利用往返矩阵证明共焦腔为稳定腔，即任意傍轴光线在其中可以往返无限多次，而且两次往返即自行闭合。

证：设光线在球面镜腔内的往返情况如下图所示：

其往返矩阵为：

由于是共焦腔，则有

?1AB???T??????2CD????R10??11L???????21??01??R????20???1L??1???01???R1?R2?L

将上式代入计算得往返矩阵

??10?T????0?1?nTn??TrTLTrTL?12 0? 0??A B?n?1n?1????1??1??????0 1??0 1? C D??????nn可以看出，光线在腔内往返两次的变换矩阵为单位阵，所以光线两次往返即自行闭合。于是光线在腔内往返任意多次均不会溢出腔外，所以共焦腔为稳定腔。

4.试求平凹、双凹、凹凸共轴球面镜腔的稳定性条件。解：共轴球面腔稳定性条件0?g1g2?1其中g1?1?1?LL,g2?1? R1R2L，再根据稳定性条件 R2对平凹共轴球面镜腔有R1??,R2?0。则g1?1,g2?1?0?g1g2?1可得0?1?L?1?R2?L。 R2LL,g2?1?,根据稳定性条件R1R2对双凹共轴球面腔有，R1?0,R2?0则g1?1??0?R1?L??R1?LL??L?? 或 ?0?R2?L。 0?g1g2?1 可得0??1???1???1???R2?L?R1??R2??R?R?L2?1对凹凸共轴球面镜腔有，R1?0,R2?0则g1?1?LL,g2?1??0,根据稳定性条件R1R2??R?LL??L?。 0?g1g2?1 可得0??1???1???1??1?R1?R2?L?R1??R2?5. 激光器的谐振腔由一面曲率半径为1m的凸面镜和曲率半径为2m的凹面镜组成，工作物质长0.5m，其折射率为1.52，求腔长L在什么范围内是稳定腔。

解：设两腔镜M1和M2的曲率半径分别为R1和R2，R1??1m,R2?2m 工作物质长l?0.5m，折射率??1.52

当腔内放入工作物质时,稳定性条件中的腔长应做等效,设工作物质长为l,工作物质左右两边剩余的腔长分别为l1和l2，则l1?l?l2?L。设此时的等效腔长为L?，则光在腔先经历自由传播横向距离l1，然后在工作物质左侧面折射，接着在工作物质中自由传播横向距离l，再在工作物质右侧面折射，最后再自由传播横向距离l2，则

所以等效腔长等于 L??l2??10??1L???1l2??10??1l????1l1??1?01??01??0???01??0??01????????????????l??1l??l2?1?????1???0?l??l1?(L?l)?l?

再利用稳定性条件

L???L???0??1???1???1 (1)2??1??由(1)解出 2m?L??1m 则所以得到：

L?L??0.5?(1?1)?L??0.171.521.17m

6. 图2.3所示三镜环形腔，已知l，试画出其等效透镜序列图，并求球面镜的曲率半径R在什么范围内该腔是稳定腔。图示环形腔为非共轴球面镜腔。在这种情况下，对于在由光轴组成的平面内传输的子午光线，式(2.2.7)中的F?(Rcos?)/2，对于在与此垂直的平面内传输的弧矢光线，

F?R/(2cos?)，?为光轴与球面镜法线的夹角。

图2.1

解：

平面镜l?lRlR?10??112l?AB??1l??????1?CD???01??1??1??01?????????F??F?4l4l22l2??1?F?F23l?F????222l??2l?1??F??F2l?13ll2?A?D??1??2 2FFl23l稳定条件 ?1?2??1?1

FF0??1??

l23l??2?0llF2F左边有所以有?2或?1

FF?l??l??2?1?0?????F??F?RRF?F子午?cos?对子午线：对弧矢线：弧矢2cos?2对子午线和弧矢光线分别代入上述不等式得子午光线弧矢光线