2018高考理科数学试题全国卷2及解析完美版

2017年普通高等学校招生全国统一考试理科数学

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 3+i

1、=( ) 1+i

A．1+2i B．1–2i C．2+i D．2–i

2

2、设集合A={1,2,4}，B={x–4x+m=0}，若A∩B={1}，则B=( ) A．{1,–3} B．{1,0} C．{1,3} D．{1,5}

3、我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯( )

A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏

4、如下左1图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )

A．90π B．63π C．42π D．36π

开始输入aS=0，K=1K ?6是S=S+a?Ka=-aK=K+1输出S开始否??2x+3y–3≤05、设x、y满足约束条件?2x–3y+3≥0，则z=2x+y的最小值是( )

?y+3≥0?A．–15 B．–9 C．1 D．9

6、安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有( ) A．12种 B．18种 C． 24种 D．36种

7、甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞猜的成绩。老师说：你们四人中有2位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则( )

A．乙可以知道四人的成绩 B．丁可以知道四人的成绩 C．乙、丁可以知道对方的成绩 D．乙、丁可以知道自己的成绩 8、执行上左2的程序框图，如果输入的a=–1，则输出的S=( ) A．2 B．3 C．4 D．5

22xy

9、若双曲线C：2–2=1(a>0，b>0)的一条渐近线被圆(x–2)2+y2=4所截得的弦长为2，则C的离心率为( )

ab23

A．2 B．3 C．2 D． 3

10、已知直三棱柱ABC–A1B1C1中，∠ABC=120°，AB=2，BC=CC1=1， 则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( )

315103A． B． C． D． 2553

x–1

11、若x=–2是函数f(x)=(x2+ax–1)e的极值点，则f(x)的极小值为( ) A．–1 B．–2e–3 C．5e–3 D．1

12、已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则向量PA·(PB+PC)的最小值是( )

34

A．–2 B．– C．– D．–1

23

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。 13、一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到二等品件数，则DX=_______________________。

3π2

14、函数f(x)=sinx+3cosx–(x∈[0,])的最大值是______________。

4215、等差数列{an}的前n项和为Sn，a3=3，S4=10，则

2

1?___________。 ?k?1Skn16、已知F是抛物线C：y=8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点，则

|FN|=_______________________。

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22/23题为选考题，考生根据要求作答。 (一)必考题：共60分。

2B

17、(12分)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知sin(A+C)=8sin。

2

(1)求cosB；

(2)若a+c=6，△ABC的面积为2，求b。

18、(12分)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：

频率/组距频率/组距0.0680.0400.0340.0320.0240.0200.0140.012025303540455055606570箱产量/kg旧养殖法0.0460.0440.0200.0100.0080.0040

(1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg，新养殖法的箱产量不低于50kg”，估计A的概率；

(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；

箱箱产量≥50kg 产量<50kg 旧养殖法 新养殖法 (3)根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值(精确到0.01)。

2

n(ad–bc)2

附： K=。

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

3540455055606570箱产量/kg

1

19、(12分)如图，四棱锥P–ABCD中，侧面PAD为等边三角形且垂直于地面ABCD，AB=BC=AD，∠BAD=∠ABC=90°，

2

E是PD的中点。

(1)证明：直线CE∥平面PAB；

(2)点M在棱PC上，且直线BM与底面ABCD所成角为45°，求二面角M–AB–D的余弦值。

PMAB

EDC

x2

20、(12分)设O为坐标原点，动点M在椭圆C：+y=1上，过M作x轴的垂线，垂足为N，点P满足向量NP=2

2

NM。

(1)求点P的轨迹方程；

(2)设点Q在直线x=–3上，且向量OP·PQ=1。 证明：过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

2

21、(12分)已知函数f(x)=ax2–ax–xlnx，且f(x)≥0。 (1)求a；

–2–2

(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e< f(x0)<2。

(二)选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做则按所做的第一题计分。

22、[选修4–4：坐标系与参数方程](10分)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ=4。

(1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|=16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；

π

(2)设点A的极坐标为(2,)，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值。

3

33

23、[选修4–5：不等式选讲](10分)已知a>0，b>0，a+b=2。证明：

55

(1)(a+b)(a+b)≥4； (2)a+b≤2。

理科数学 参考答案 一、选择题

1、D 2、C 3、B 4、B 5、A 6、D 7、D 8、B 9、A 10、C 11、A 12、B 二、填空题 13、1.96； 14、1；

2n15、；

n+116、6； 三、解答题

BBB18152B

17、(1)由A+C=π–B得sinB=8sin，即cos=4sin，∴tan=，得tanB=，则有cosB=。

222241517

8117

(2)由(1)可知sinB=，则S△ABC=acsinB=2，得ac=，

1722

302222

又b=a+c–2ac·cosB=(a+c)–2ac–ac=4，则b=2。

17

18、(1)旧养殖法箱产量低于50kg的频率为(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)×5=0.62， 新养殖法箱产量不低于50kg的频率为(0.068+0.046+0.010+0.008)×5=0.66， 而两种箱产量相互独立，则P(A)=0.62×0.66=0.4092。 (2)由频率分布直方图可得列联表 箱箱产量≥50kg 产量<50kg 旧养殖法 62 38 新养殖法 34 66 22200(62×66–34×38)则K=≈15.705>6.635，所以有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关。

100×100×96×104

(3)新养殖法箱产量低于50kg的面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5， 产量低于55kg的面积为(0.004+0.020+0.044+0.068)×5=0.68>0.5，

0.5–0.34

所以新养殖法箱产量的中位数估计值为()×5+50≈52.35(kg)。

0.34

1119、(1)取PA中点F，连结EF、BF。因为E为PD中点，则EF∥AD。而由题可知BC∥AD，则EF∥BC，即四边形

22BCEF为平行四边形，所以EC∥FB。又EC?面PAB，FB?面PAB，故CE∥平面PAB。

(2)因为AB⊥AD，则以A为坐标原点，AB、AD所在直线分别为x、y轴建立空间直角坐标系A–xyz，如图所示。 取AB=1，设向量CM=λCP(0<λ<1)，则得A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，P(0,1,3)，，则CP=(–1,0, 3)，CM=(–λ,0,3λ)，可得点M(1–λ,1,3λ)，所以BM=(–λ,1,3λ)。

3λ2取底面ABCD的法向量为n=(0,0,1)，则|cos|==sin45°，解得λ=，则向量22

2λ+1+3λ

?x=0?m·AB=0?26

26，BM=(–,1,)。因为向量AB=(1,0,0)，设面MAB的法向量为m=(x,y,z)，由?得?22?m·BM=0–x+y+z=0?2?2取z=2得m=(0,–6,2)，

1010

则cos=。故二面角M–AB–D的余弦值为。

55

zPFMEDCAxB

y

2

2

2xy22

20、(1)设P(x,y)，则M(x,y)，将点M代入C中得+=1，所以点P的轨迹方程为x+y=2。

222

(2)由题可知F(–1,0)，设Q(–3,t)，P(m,n)，则向量OQ=(–3,t)，PF=(–1–m,–n)，OP=(m,n)，

2222

PQ=(–3–m,t–n)。由向量OP·OQ=1得–3m–m+tn–n=1，由(1)有m+n=2，则有3+3m–tn=0，所以OQ·PF=3+3m–tn=0，即过点P且垂直于OQ的直线l过C的左焦点F。

21、(1) f(x)的定义域为(0,+∞)，则f(x)≥0等价于ax–a–lnx≥0。

111

设g(x)=ax–a–lnx，则g'(x)=a–。由题可知a>0，则由g'(x)>0解得x>，所以g(x)为(,+∞)上的增函数，

xaa

11

为(0,)上的减函数。则有g(x)min=g()=1–a+lna=0，解得a=1。

aa

2

(2)由(1)可知f(x)=x–x–xlnx，则f'(x)=2x–2–lnx。

1111

设h(x)=2x–2–lnx，则h'(x)=2–。由h'(x)>0解得x>，所以h(x)为(,+∞) 上的增函数，为(0,)上的减

x222

11

函数。又因为h()=ln2–1<0，h(1)=0，则h(x)在(0,)上存在唯一零点x0使得2x0–2–lnx0=0，即2x0–2=lnx0，

22

1

且f(x)为(0,x0)，(1,+∞)上的增函数，为(x0,1)上的减函数，则f(x)极大值为f(x0)=x0(1–x0)<。

4

–1–1–1–2

而e∈(0,1)，x0≠e，所以f(x0)>f(e)=e。

–2–2

综上，e< f(x0)<2。

4

22、(1)设P极坐标为(ρ,θ)( ρ>0)，M极坐标为(ρ1,θ)( ρ1>0)。则|OP|=ρ，|OM|=ρ1=。由|OM|·|OP|=16

cosθ

22

得C2的极坐标方程为ρ=4cosθ(ρ>0)。所以C2 的直角坐标方程为(x–2)+y=4(x≠0)。 (2)设B极标为(ρ2,θ)( ρ2>0)，由题可知|OA|=2，ρ2=4cosα，则有

1ππ3πS△OAB=|OA|·ρ2·|sin(α–)|=2|sin(2α–)–|≤2+3。即当α=–时，△OAB面积的最大值为2+3。

233212

5565563323344222

23、(1)(a+b)(a+b)=a+ab+ab+b=(a+b)–2ab+ab(a+b)=4+ab(a–b)≥4。

23

3(a+b)3(a+b)332233

(2)因为(a+b)=a+3ab+3ab+b=2+3ab(a+b)≤2+(a+b)=2+ ，所以(a+b)≤8，解得a+b≤2。

44