（3）根据点A′的位置不同得到线段NO′与半圆O只有一个公共点N时α的取值范围是0°＜α＜30°或45°≤α＜90°． 【详解】
发现：（1）过点O作OH⊥AB，垂足为H，如图1所示,
∵⊙O的半径为2，AB=23， ∴OH=OB2?HB2=22?(3)2?1 在△BOH中，OH=1，BO=2 ∴∠ABO=30°
∵图形沿BP折叠，得到点A的对称点A′． ∴∠OBA′=∠ABO=30° ∴∠ABA′=60°
（2）过点O作OG⊥BP，垂足为G，如图2所示．
∵BA′与⊙O相切，∴OB⊥A′B．∴∠OBA′=90°． ∵∠OBH=30°，∴∠ABA′=120°． ∴∠A′BP=∠ABP=60°． ∴∠OBP=30°．∴OG=
1OB=1．∴BG=3． 2∵OG⊥BP，∴BG=PG=3． ∴BP=23．∴折痕的长为23 拓展：（1）相切．
分别过A'、O作A'H⊥MN于点H，OD⊥A'C于点D．如图3所示， ∵A'C∥MN
∴四边形A'HOD是矩形 ∴A'H=O
∵α=15°∴∠A'NH=30 ∴OD=A'H=
11A'N=MN=2 22∴A'C与半圆
（2）当NA′与半圆O相切时，则ON⊥NA′， ∴∠ONA′=2α=90°， ∴α=45
?上时，连接MO′，则可知NO′=当O′在PB∴∠O′MN=0° ∴∠MNO′=60°， ∴α=30°，
故答案为：45°；30°．
（3）∵点P，M不重合，∴α＞0，
1MN， 2由（2）可知当α增大到30°时，点O′在半圆上，
∴当0°＜α＜30°时点O′在半圆内，线段NO′与半圆只有一个公共点B； 当α增大到45°时NA′与半圆相切，即线段NO′与半圆只有一个公共点B． 当α继续增大时，点P逐渐靠近点N，但是点P，N不重合， ∴α＜90°，
∴当45°≤α＜90°线段BO′与半圆只有一个公共点B． 综上所述0°＜α＜30°或45°≤α＜90°． 【点睛】
本题考查了切线的性质、垂径定理、勾股定理、三角函数的定义、30°角所对的直角边等于斜边的一半、翻折问题等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 24．（1）详见解析；（2）BD=9.6. 【解析】
??DF??试题分析：(1)连接OB，由垂径定理可得BE=DE，OE⊥BD，BF1?BD ，再由圆周角定理可得2，即?OBC?90? ，命题得证. ?BOE??A ，从而得到∠ OBE＋∠ DBC＝90°
(2)由勾股定理求出OC，再由△OBC的面积求出BE，即可得出弦BD的长. 试题解析：(1)证明：如下图所示，连接OB.
??DF??∵ E是弦BD的中点，∴ BE＝DE，OE⊥ BD，BF∴∠ BOE＝∠ A，∠ OBE＋∠ BOE＝90°. ∵∠ DBC＝∠ A，∴∠ BOE＝∠ DBC，
1?BD， 2∴∠ OBE＋∠ DBC＝90°，∴∠ OBC＝90°，即BC⊥OB，∴ BC是⊙ O的切线．
(2)解：∵ OB＝6，BC＝8，BC⊥OB，∴OC?OB2?BC2?10 , ∵SVOBC?11OB?BC6?8OC?BE?OB?BC ，∴BE???4.8 ， 22OC10∴BD?2BE?9.6.
点睛：本题主要考查圆中的计算问题，解题的关键在于清楚角度的转换方式和弦长的计算方法. 25．（1）见解析；（2）. 【解析】 【分析】
（1）连接OC、BC，根据题意可得OC2+PC2=OP2，即可证得OC⊥PC，由此可得出结论．
（2）先根据题意证明出△PBC∽△PCA，再根据相似三角形的性质得出边的比值，由此可得出结论． 【详解】
（1）如图，连接OC、BC
∵⊙O的半径为3，PB=2 ∴OC=OB=3，OP=OB+PB=5 ∵PC=1 ∴OC2+PC2=OP2
∴△OCP是直角三角形， ∴OC⊥PC
∴PC是⊙O的切线．
（2）∵AB是直径 ∴∠ACB=90° ∴∠ACO+∠OCB=90° ∵OC⊥PC
∴∠BCP+∠OCB=90° ∴∠BCP=∠ACO ∵OA=OC ∴∠A=∠ACO ∴∠A=∠BCP
在△PBC和△PCA中： ∠BCP=∠A，∠P=∠P ∴△PBC∽△PCA， ∴
∴tan∠CAB=【点睛】
本题考查了切线与相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握切线的判定与相似三角形的判定与性质. 26．
2x2, x?13【解析】 【分析】
根据分式的化简方法先通分再约分，然后带入求值. 【详解】
x2?1x2?x1解：2??
x?1xx?2x?1(x?1)(x?1)x(x?1)1??2(x?1)x?1xx?1??1x?1 x?1x?1??x?1x?12x?x?1?当x?12x2?． 时，
x?132【点睛】
此题重点考查学生对分式的化简的应用，掌握分式的化简方法是解题的关键. 27．（1）证明见解析；（2）1． 【解析】
试题分析：（1）取BD的中点0，连结OE，如图，由∠BED=90°，根据圆周角定理可得BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心，再证明OE∥BC，得到∠AEO=∠C=90°，于是可根据切线的判定定理判断AC是△BDE的外接圆的切线； （2）设⊙O的半径为r，根据勾股定理得62+r2=（r+2
）2，解得r=2
，根据平行线分线段成比例定理，
由OE∥BC得，然后根据比例性质可计算出EC．
试题解析：（1）证明：取BD的中点0，连结OE，如图， ∵DE⊥EB， ∴∠BED=90°，
∴BD为△BDE的外接圆的直径，点O为△BDE的外接圆的圆心， ∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE=∠OBE， ∵OB=OE， ∴∠OBE=∠OEB， ∴∠EB=∠CBE， ∴OE∥BC， ∴∠AEO=∠C=90°， ∴OE⊥AE，
∴AC是△BDE的外接圆的切线；
（2）解：设⊙O的半径为r，则OA=OD+DA=r+2在Rt△AEO中，∵AE2+OE2=AO2， ∴62+r2=（r+2∵OE∥BC， ∴
，即
， ）2，解得r=2
，
，OE=r，
∴CE=1．
湖南省张家界市2019-2020学年中考数学一模考试卷含解析
