2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时 一元二次不等式及其解法
学 习 目 标 1.掌握一元二次不等式的解法(重点). 2.能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题(难点). 核 心 素 养 通过一元二次不等式的学习，培养数学运算素养.
1．一元二次不等式的概念
只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．
2．一元二次不等式的一般形式 (1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)． (2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)． (3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)． (4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．
思考1：不等式x2－y2>0是一元二次不等式吗？
提示：此不等式含有两个变量，根据一元二次不等式的定义，可知不是一元二次不等式．
3．一元二次不等式的解与解集
使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．
思考2：类比“方程x2＝1的解集是{1，－1}，解集中的每一个元素均可使
1
等式成立”．不等式x2>1的解集及其含义是什么？
提示：不等式x2>1的解集为{x|x<－1或x>1}，该集合中每一个元素都是不等式的解，即不等式的每一个解均使不等式成立．
4．三个“二次”的关系
设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac 判别式 Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 有两个相等的实有两个不相等的实解不等式y＞0或y＜0的步骤 画函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 得等的集不式解 y＜0 {x|x1＜x＜x2} y＞0 {x|x＜x1_或x＞x2} ??b??x?x≠－?2a???求方程y＝0的解 数根x1＝x2＝－b2a 没有 实数根 数根x1，x2(x1＜x2) R ? ? 思考3：若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，则实数a应满足什么条件？
提示：结合二次函数图象可知，若一元二次不等式ax2＋x－1>0的解集为R，??a>0，则?解得a∈?，所以不存在a使不等式ax2＋x－1>0的解集为R. ?1＋4a<0，?
1．不等式3＋5x－2x2≤0的解集为( )
???1A.?x?x＞3或x＜－2??????1
B.?x?－2≤x≤3???
??
? ??
??? ??
???1
?C.x?x≥3或x≤－2???
??
? ??
D．R
2
1
C [3＋5x－2x2≤0?2x2－5x－3≥0?(x－3)(2x＋1)≥0?x≥3或x≤－2.] 2．不等式3x2－2x＋1＞0的解集为( )
???1A.?x?－1＜x＜3???
??
? ??
???1
B.?x?3＜x＜1???
??
? ??
C．? D．R
D [因为Δ＝(－2)2－4×3×1＝4－12＝－8＜0，所以不等式3x2－2x＋1＞0的解集为R.]
3．不等式x2－2x－5>2x的解集是________．
{x|x>5或x<－1} [由x2－2x－5>2x，得x2－4x－5>0，因为x2－4x－5＝0的两根为－1,5，
故x2－4x－5>0的解集为{x|x<－1或x>5}．] 4．不等式－3x2＋5x－4>0的解集为________．
? [原不等式变形为3x2－5x＋4<0.因为Δ＝(－5)2－4×3×4＝－23<0，所以3x2－5x＋4＝0无解．
由函数y＝3x2－5x＋4的图象可知，3x2－5x＋4<0的解集为?.]
一元二次不等式的解法
【例1】 解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3>0； 81
(2)－4x2＋18x－4≥0； (3)－2x2＋3x－2<0.
[解] (1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等1
实根x1＝－3，x2＝－2.又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上，所以原不等
3
???1
式的解集为?x?x>－2或x<－3
???
??
?. ??
????9?29???(2)原不等式可化为?2x－2?≤0，所以原不等式的解集为x?x＝4?. ???????
(3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0，因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程2x2－3x＋2＝0无实根，又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R.
解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
?1?化标准.通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正. ?2?判别式.对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式. ?3?求实根.求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根. ?4?画草图.根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图. ?5?写解集.根据图象写出不等式的解集.
1．解下列不等式 (1)2x2－3x－2>0； (2)x2－4x＋4>0； (3)－x2＋2x－3<0； (4)－3x2＋5x－2>0.
1
[解] (1)∵Δ>0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－2，x2＝2， ∴不等式2x2－3x－2>0的解集为
???1
?x?x<－或x>2
2???
??
?. ??
(2)∵Δ＝0，方程x2－4x＋4＝0的根是x1＝x2＝2， ∴不等式x2－4x＋4>0的解集为{x|x≠2}. (3)原不等式可化为x2－2x＋3>0，
4
由于Δ<0，方程x2－2x＋3＝0无解， ∴不等式－x2＋2x－3<0的解集为R. (4)原不等式可化为3x2－5x＋2<0，
2
由于Δ>0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝3，x2＝1， ∴不等式－3x＋5x－2>0
2
??2?
的解集为?x?3 ??? ?? ?. ?? 含参数的一元二次不等式的解法 【例2】 解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1<0. [思路点拨] ①对于二次项的系数a是否分a＝0，a<0，a>0三类进行讨论？②当a≠0时，是否还要比较两根的大小？ [解] 当a＝0时，原不等式可化为x>1. 当a≠0时，原不等式可化为(ax－1)(x－1)<0. ?1? 当a<0时，不等式可化为?x－a?(x－1)>0， ??11 ∵a<1，∴x ?1? 当a>0时，原不等式可化为?x－a?(x－1)<0. ??11 若a<1，即a>1，则a 若＝1，即a＝1，则x∈?； a11若a>1，即0 ???1 时，原不等式的解集为?x?x ??? ?? 或x>1?；当 ?? a＝0时，原不 ?? ?；当?? 等式的解集为{x|x>1}；当0 ???1 时，原不等式的解集为?x?1 ??? a＝1时， 5
统编人教A版高中必修第一册数学《2.3 二次函数与一元二次方程、不等式》集体备课教案教学设计
