新数学《推理与证明》期末复习知识要点
一、选择题
1．如图所示的“数字塔”有以下规律：每一层最左与最右的数字均为2，除此之外每个数字均为其两肩的数字之积，则该“数字塔”前10层的所有数字之积最接近?lg2?0.3?（ ）
A．10300 【答案】A 【解析】 【分析】
B．10400 C．10500 D．10600
结合所给数字特征，我们可将每层数字表示成2的指数的形式，观察可知，每层指数的和成等比数列分布，结合等比数列前n项和公式和对数恒等式即可求解 【详解】
如图，将数字塔中的数写成指数形式，可发现其指数恰好构成“杨辉三角”，前10层的指数之和为1?2?22?????29?210?1?1023，所以原数字塔中前10层所有数字之积为21023?101023lg2?10300.
故选：A 【点睛】
本题考查与“杨辉三角”有关的规律求解问题，逻辑推理，等比数列前n项和公式应用，属于中档题
2．下面几种推理中是演绎推理的为（ ）
A．由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电 B．猜想数列
1111(n?N?) ，，，??的通项公式为an?n(n?1)1?22?33?4C．半径为r的圆的面积S??r2，则单位圆的面积S??
D．由平面直角坐标系中圆的方程为(x?a)2?(y?b)2?r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x?a)?(y?b)?(z?c)?r 【答案】C
2222【解析】 【分析】
根据合情推理与演绎推理的概念，得到A是归纳推理，B是归纳推理，C是演绎推理，D是类比推理，即可求解． 【详解】
根据合情推理与演绎推理的概念，可得:
对于A中， 由金、银、铜、铁可导电，猜想：金属都可导电，属于归纳推理；
1111a?(n?N?)，属于，，，??的通项公式为n对于B中， 猜想数列
n(n?1)1?22?33?4归纳推理，不是演绎推理；
对于C中，半径为r的圆的面积S??r2，则单位圆的面积S??，属于演绎推理； 对于D中， 由平面直角坐标系中圆的方程为(x?a)2?(y?b)2?r2，推测空间直角坐标系中球的方程为(x?a)?(y?b)?(z?c)?r，属于类比推理， 综上，可演绎推理的C项，故选C． 【点睛】
本题主要考查了合情推理与演绎推理的概念及判定，其中解答中熟记合情推理和演绎推理的概念，以及推理的规则是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．
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3．用“算筹”表示数是我国古代计数方法之一，计数形式有纵式和横式两种，如图1所示.金元时期的数学家李冶在《测圆海镜》中记载：用“天元术”列方程，就是用算筹来表示方程中各项的系数.所谓“天元术”，即是一种用数学符号列方程的方法，“立天元一为某某”，
nn?1意即“设x为某某”.如图2所示的天元式表示方程a0x?a1x?????an?1x?an?0，其中
a0，a1，…，an?1，an表示方程各项的系数，均为筹算数码，在常数项旁边记一“太”字或
在一次项旁边记一“元”字，“太”或“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.
试根据上述数学史料，判断图3天元式表示的方程是（ ） A．x2?286x?1743?0 C．1743x2?286x?1?0 【答案】C 【解析】 【分析】
根据“算筹”法表示数可得题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743，结合“天元术”列方程的特征即可得结果. 【详解】
由题意可得，题图3中从上至下三个数字分别为1，286，1743， 由“元”向上每层减少一次幂，向下每层增加一次幂.可得天元式表示的方程为
B．x4?27x2?84x?163?0 D．163x4?84x3?27x?1?0
1743x2?286x?1?0.
故选：C. 【点睛】
本题主要是以数学文化为背景，考查数学阅读及理解能力，充分理解“算筹”法表示数和“天元术”列方程的概念是解题的关键，属于中档题.
4．已知x?0，不等式x?1427?2，x?2?3，x?3?4，…，可推广为xxxx?a?n?1 ，则a的值为( ) nxB．nn
C．2n
D．22n?2
A．n2 【答案】B 【解析】 【分析】
由题意归纳推理得到a的值即可. 【详解】
由题意，当分母的指数为1时，分子为11?1；
当分母的指数为2时，分子为22?4； 当分母的指数为3时，分子为33?27； 据此归纳可得：x?本题选择B选项. 【点睛】
归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理，由归纳推理所得的结论不一定正确，通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法．
a?n?1中，a的值为nn. nx
5．给出下面类比推理：
①“若2a<2b，则a a?bab?? (c≠0)”； ccc③“a，b∈R，若a－b＝0，则a＝b”类比推出“a，b∈C，若a－b＝0，则a＝b”； ④“a，b∈R，若a－b>0，则a>b”类比推出“a，b∈C，若a－b>0，则a>b(C为复数集)”． 其中结论正确的个数为( ) A．1 【答案】B 【解析】 【分析】 在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可以直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对四个结论逐一进行分析，不难解答. 【详解】 ①若“2a?2b，则a?b”类比推出“若a2?b2，则a?b”，不正确，比如a?1,b??2； ②“(a?b)c?ac?bc(c?0)”类比推出“ B．2 C．3 D．4 a?bab??(c?0)”，正确； ccc③在复数集C中，若两个复数满足a?b?0，则它们的实部和虚部均相等，则a,b相等，故正确； ④若a,b?C，当a?1?i,b?i时，a?b?1?0，但a,b是两个虚数，不能比较大小，故错误； 所以只有②③正确，即正确命题的个数是2个， 故选B. 【点睛】 该题考查的是有关判断类比得到的结论的正确性的问题，涉及到的知识点有式子的运算法则，数相等的条件，复数不能比较大小等结论，属于简单题目. 6．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几 何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（ ） A．1个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论. 【详解】 根据三角形的内切圆和旁切圆可得 与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个， 由此类比到四面体中， 四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等， 还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等， 因此这样的点有且只有5个. 故选：B 【点睛】 本题考查的是类比推理，找出切入点是解题的关键. B．5个 C．7个 D．9个 7．将从1开始的连续奇数排成如图所示的塔形数表，表中位于第i行，第j列的数记为 aij，例如a32?9，a42?15，a54?23，若aij?2019，则i?j?（ ） A．71 【答案】D 【解析】 【分析】 B．72 C．20 D．19 先确定奇数2019为第1010个奇数，根据规律可得从第1行到第i行末共有 1+2+3+???+i=即可得解. 【详解】 i?i?1?2个奇数，可确定2019位于第45行，进而确定2019所在的列， 奇数2019为第1010个奇数， 由题意按照蛇形排列，从第1行到第i行末共有1+2+3+???+i=i?i?1?2个奇数， 则从第1行到第44行末共有990个奇数，从第1行到第45行末共有1035个奇数， 则2019位于第45行，而第45行时从右往左递增，且共有45个奇数， 故2019位于第45行，从右往左第20列，
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