拜年拜年拜年拜年拜年选修4-5 不等式选讲
第1课时 绝对值不等式
1. 解不等式1<|x－1|<3.
解：原不等式可化为1 解：当x<－1时，不等式化为－x－1＋2－x<4， 3 解得－ 2 当－1≤x≤2时，不等式化为x＋1＋2－x<4， 得－1≤x≤2； 当x>2时，不等式化为x＋1＋x－2<4， 5 解得2 ?35?∴ 原不等式的解集为?－，?. ?22?2 3. 解不等式|x－2x＋4|>2x. 2 解：原不等式等价于x－2x＋4<－2x ①， 2 或x－2x＋4>2x ②. 解①得解集为?， 解②得解集为{x|x∈R且x≠2}． ∴ 原不等式的解集为{x|x∈R且x≠2}． 2 4. 解不等式x－|x|－2<0. 2 解：(解法1)当x≥0时，x－x－2<0， 解得－1 2 当x<0时，x＋x－2<0，解得－2 ∴ 原不等式的解集为{x|－2 2 (解法2)原不等式可化为|x|－|x|－2<0， 解得－1<|x|<2. ∵ |x|≥0，∴ 0≤|x|<2，∴ －2 5. 已知满足不等式|2x＋a|＋|x－3|≤4的x的最大值为3，求实数a的值． 解：因为x的最大值为3，所以x≤3，即不等式为|2x＋a|＋3－x≤4，所以|2x＋a|≤x＋1， x≥－1， ?－a－1?x＋1≥0， ， 所以?所以x≥3?－x－1≤2x＋a≤x＋1，? ?????x≤1－a， 因为x的最大值为3，所以1－a＝3，即a＝－2. 2 6. 已知函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|－|a－2a|.若函数f(x)的图象恒在x轴上方，求实数a的取值范围． 2 解：f(x)的最小值为3－|a－2a|， 2 由题设，得|a－2a|<3，解得a∈(－1，3)． 7. 已知函数f(x)＝|x|－|x－3|. (1) 解关于x的不等式f(x)≥1； (2) 若存在x0∈R，使得关于x的不等式m≤f(x0)成立，求实数m的取值范围． ???x≤0，?0＜x＜3， 解：(1) 原不等式等价于不等式组①：?或②：?或③： ??－x＋（x－3）≥1x＋（x－3）≥1?? 和任何人呵呵呵 拜年拜年拜年拜年拜年??x≥3，?不等式组①无解；解不等式组②得2≤x＜3；解不等式组③得x≥3，所以原不?x－x＋3≥1.? 等式的解集为[2，＋∞)． (2) 由题意知m≤f (x)max，因为f(x)＝|x|－|x－3|≤|x－x＋3|＝3，所以f(x)max＝3，所以m≤3，即m∈(－∞，3]． 8. 已知函数f(x)＝|1－x|－|2＋x|. (1) 求f(x)的最大值； (2) |2t－1|≥f(x)恒成立，求实数t的取值范围． 解：(1) f(x)＝|1－x|－|2＋x|≤|1－x＋2＋x|＝3， 当且仅当x≤－2时等号成立，∴ f(x)max＝3. (2) 由|2t－1|≥f(x)恒成立得|2t－1|≥f(x)max， 即|2t－1|≥3，2t－1≥3或2t－1≤－3， 解得t≥2 或 t≤－1， ∴ 实数t的取值范围是(－∞，－1]∪[2，＋∞)． 9. 已知关于x的不等式|ax－1|＋|ax－a|≥1(a>0)． (1) 当a＝1时，求此不等式的解集； (2) 若此不等式的解集为R，求实数a的取值范围． 1 解：(1) 当a＝1时，得2|x－1|≥1, 即|x－1|≥， 2 31 解得x≥或x≤， 22 1??3??∴ 不等式的解集为?－∞，?∪?，＋∞?. 2??2?? (2) ∵ |ax－1|＋|ax－a|≥|a－1|， ∴ 原不等式解集为R等价于|a－1|≥1. ∴ a≥2或a≤0. ∵ a>0，∴ a≥2. ∴ 实数a的取值范围是[2，＋∞)． 10. 设函数f(x)＝|2x＋1|－|x－2|. (1) 求不等式f(x)>2的解集； 112 (2) ?x∈R，f(x)≥t－t，求实数t的取值范围． 2 1 －x－3，x<－，2 ??1解：(1) f(x)＝? 3x－1，－≤x<2，2 ??x＋3，x≥2， 1 当x<－时，－x－3>2，x<－5，∴ x<－5； 21 当－≤x<2时，3x－1>2，x>1，∴ 1 2 当x≥2时，x＋3>2，x>－1，∴ x≥2. 综上所述，不等式f(x)＞2的解集为{x|x>1或x<－5}． 5112 (2) f(x)min＝－，若?x∈R，f(x)≥t－t恒成立， 225211t1 则只需f(x)min＝－≥t－，解得≤t≤5. 222?1?即t的取值范围是?，5?. ?2? 和任何人呵呵呵 拜年拜年拜年拜年拜年11. 设函数f(x)＝|2x－1|－|x＋1|. (1) 求不等式f(x)≤0的解集D； (2) 若存在实数x∈{x|0≤x≤2}，使得3x＋2－x>a成立，求实数a的取值范围． 解：(1) 当x≤－1时，由f(x)＝－x＋2≤0得x≥2，所以x∈?； 11 当－1 2211 当x>时，由f(x)＝x－2≤0得x≤2，所以 22 综上，不等式f(x)≤0的解集D＝{x|0≤x≤2}． 2 (2) 3x＋2－x＝3x＋2－x，由柯西不等式得(3x＋2－x)≤(3＋1)[x＋(2 3 －x)]＝8，∴ 3x＋2－x≤22，当且仅当x＝时取“＝”， ∴ a的取值范围是(－∞， 222)． 第2课时 不等式证明的基本方法 2222 1. 已知x≥1，y≥1，求证：xy＋xy＋1≤xy＋x＋y. 2222 证明：左边－右边＝(y－y)x＋(y－1)x－y＋1＝(1－y)[yx－(1＋y)x＋1]＝(1－y)(xy－1)(x－1)， ∵ x≥1，y≥1，∴ 1－y≤0，xy－1≥0，x－1≥0. 从而左边－右边≤0， 2222 ∴ xy＋xy＋1≤xy＋x＋y. 2. (2017·苏州期末)已知a，b，x，y都是正数，且a＋b＝1，求证：(ax＋by)(bx＋ay)≥xy. 证明：因为a，b，x，y都是正数， 2222 所以(ax＋by)(bx＋ay)＝ab(x＋y)＋xy(a＋b) 222 ≥ab·2xy＋xy(a＋b)＝(a＋b)xy. 又a＋b＝1，所以(ax＋by)(bx＋ay)≥xy. 当且仅当x＝y时等号成立． 222 3. 已知x，y，z∈R，且x＋2y＋3z＋8＝0.求证：(x－1)＋(y＋2)＋(z－3)≥14. 222222 证明：因为[(x－1)＋(y＋2)＋(z－3)](1＋2＋3) 2 ≥[(x－1)＋2(y＋2)＋3(z－3)] 22 ＝(x＋2y＋3z－6)＝14， x－1y＋2z－3 当且仅当＝＝，即x＝z＝0，y＝－4时，取等号， 123222 所以(x－1)＋(y＋2)＋(z－3)≥14. 4. 已知函数f(x)＝|2x－1|＋|x＋1|，函数g(x)＝f(x)＋|x＋1|的值域为M. (1) 求不等式f(x)≤3的解集； 32 (2) 若t∈M，求证：t＋1≥＋3t. t －3x，x≤－1. ?1?x≤－1，2－x，－1＜x＜， 2(1) 解：依题意，得f(x)＝?于是得f(x)≤3?或 －3x≤3 1 3x，x≥，??2 ?? ??? 11??－1＜x＜，??x≥， 2或?2解得－1≤x≤1.即不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x≤1}． ? ???2－x≤3?3x≤3， (2) 证明：g(x)＝f(x)＋|x＋1|＝|2x－1|＋|2x＋2|≥|2x－1－2x－2|＝3， 当且仅当(2x－1)(2x＋2)≤0时，取等号，∴M＝[3，＋∞)． 322 3t－3t＋t－3（t－3）（t＋1）2 原不等式等价于t－3t＋1－＝＝. ttt 和任何人呵呵呵 拜年拜年拜年拜年拜年∵t∈M，∴t－3≥0，t＋1＞0. 2 （t－3）（t＋1）32∴≥0.∴t＋1≥＋3t. tt bca 5. (2017·苏、锡、常、镇二模)已知a，b，c为正实数，求证：＋＋≥a＋b＋c. abc 222bca 证明：∵ a，b，c为正实数，∴ a＋≥2b，b＋≥2c，c＋≥2a， abc222bca 将上面三个式子相加得a＋b＋c＋＋＋≥2a＋2b＋2c， abc 222bca ∴ ＋＋≥a＋b＋c. abc 111 6. 设a1，a2，a3均为正数，且a1＋a2＋a3＝1，求证：＋＋≥9. a1a2a3111?111?证明：因为a1，a2，a3均为正数，且a1＋a2＋a3＝1，所以＋＋＝(a1＋a2＋a3)?＋＋?a1a2a3?a1a2a3? 11 111?111?≥3(a1a2a3)3·3?··?3＝9(当且仅当a1＝a2＝a3时等号成立)，所以＋＋≥9. a1a2a3?a1a2a3? 123 7. 已知正数x，y，z满足x＋2y＋3z＝1，求＋＋的最小值． xyz 123?149? 解：＋＋＝?＋＋?(x＋2y＋3z) xyz?x2y3z? 2y3z4x12z9x18y ＝1＋4＋9＋＋＋＋＋＋ xx2y2y3z3z2y4x3z9x12z18y·＋2·＋2·＝36， x2yx3z2y3z 1 当且仅当x＝y＝z＝时等号成立， 6 123 ∴ ＋＋的最小值为36. xyz 333 8. 已知x＞0，y＞0，z＞0且xyz＝1，求证：x＋y＋z≥xy＋yz＋zx. 证明：∵ x＞0，y＞0，z＞0， 333 ∴ x＋y＋z≥3xyz. 333333 同理x＋y＋1≥3xy，y＋z＋1≥3yz，x＋z＋1≥3xz. 333 将以上各式相加，得3x＋3y＋3z＋3≥3xyz＋3xy＋3yz＋3zx. 333 ∵ xyz＝1，∴ x＋y＋z≥xy＋yz＋zx. 111 9. 已知a，b，c均为正数，且a＋2b＋4c＝3.求＋＋的最小值，并指出取a＋1b＋1c＋1 得最小值时a，b，c的值． 解：∵ a＋2b＋4c＝3，∴ (a＋1)＋2(b＋1)＋4(c＋1)＝10. ∵ a，b，c为正数， ?1＋1＋1?≥(1＋2＋ ∴ 由柯西不等式得[(a＋1)＋2(b＋1)＋4(c＋1)]·???a＋1b＋1c＋1? 22). 222 当且仅当(a＋1)＝2(b＋1)＝4(c＋1)时，等式成立． 11111＋62∴＋＋≥， a＋1b＋1c＋110 ≥14＋2∴ 2(c＋1)＋22(c＋1)＋4(c＋1)＝10， 2 2 2 2 和任何人呵呵呵 拜年拜年拜年拜年拜年8－52152－1723－102∴ c＝，b＝，a＝. 777 10. 已知a＋b＋c＝1，a，b，c＞0.求证： 1 (1) abc≤； 273222 (2) a＋b＋c≥abc. 113 证明：(1) a＋b＋c≥3·abc，而a＋b＋c＝1?abc≤，当且仅当a＝b＝c＝时取等 273 号． 11132222 (2) 由柯西不等式得a＋b＋c≥(a＋b＋c)＝，由(1)知abc≤， 333 3222 ∴ a＋b＋c≥abc，当且仅当a＝b＝c＝时取等号． 11. 已知函数f(x)＝3x＋6，g(x)＝14－x.若存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立，求实数a的取值范围． 解：存在实数x使f(x)＋g(x)＞a成立， 等价于f(x)＋g(x)的最大值大于a. ∵ f(x)＋g(x)＝3x＋6＋14－x ＝3×x＋2＋1×14－x， 2 由柯西不等式得，(3×x＋2＋1×14－x)≤(3＋1)·(x＋2＋14－x)＝64， ∴ f(x)＋g(x)＝3x＋6＋14－x≤8，当且仅当x＝10时取等号． 故实数a的取值范围是(－∞，8)． 和任何人呵呵呵
2019年高考数学一轮复习不等式选讲课时训练选修4
