哈尔滨工程大学
2013级硕士研究生随机过程第一次测试
1、已知随机过程X(t)，x是任一实数，定义另一个随机过程
Y(t)???1,X(t)?xx ?0,X(t)?试求：Y(t)的均值和自相关函数。
解：均值为：E?Y(t)??1?P{Y(t)?1}?0?P{Y(t)?0}
?P{X(t)?x}
?FX(x;t)
相关函数为：RY(t1,t2)?E?Y(t1)Y(t2)?
?1?P{Y(t1)?1,Y(t2)?1}?0?P{Y(t)?0,Y(t2)?0} ?P{X(t1)?x1,X(t2)?x2}
?FX(x1,x2;t1,t2)
2、随机过程X(t)?Acos?0t?Bsin?0t，其中?0为常数，A、B均为高斯变
量，并且E[A]?E[B]?0，E[A2]?E[B2]??2。
（1） 若A、B相互独立，判断该过程是否宽平稳、是否严平稳。 （2） 若A、B相互独立，求X(0)和X(1)的一维概率密度。 （3） 若A、B正交，判断该过程是否宽平稳、是否严平稳。 解：（1）E[X(t)]?E[Acos?t?Bsin?t]?E[Acos?t]?E[Bsin?t]
?E[A]cos?t?E[B]sin?t
?0 （E[A]?E[B]?0）
RX(t1,t2)?E[X(t1)X(t2)]?E[(Acos?t1?Bsin?t1)(Acos?t2?Bsin?t2)]
?E[A2cos?t1cos?t2?ABcos?t1sin?t2?ABsin?t1cos?t2?B2sin?t1sin?t2]
?E[A2]cos?t1cos?t2?E[A]E[B]cos?t1sin?t2?E[A]E[B]sin?t21cos?t2?E[B]sin?t1sin?t
2 ?E[A2]cos?t1cos?t22?E[B]sin?t1sin?t2 （E[X2]?D[X]?(E[X])2）
??2cos?(t2?t1)
??2cos?(?) （??t2?t1）
D[X(t)]?Rm2X(0)?X??2
可见X(t)是宽平稳随机过程。 在任意时刻对X(t)采样得到高斯变量A、B的线性组合，可见X(t)为一高斯随机过程. 所以它也是严平稳的。
（2）一维概率密度：ff1?x2?X(x,0)?X(x,1)?2??exp???2?2?? （3）A、B为高斯随机变量，所以不相关与统计独立等价，又因为这两个变量均值为零，所以不相关与正交等价。因此在A、B正交的情况与A、B统计独立情况等价，X(t)为宽平稳过程，也为严平稳过程
3、X(t)和Y(t)联合平稳过程定义了一个随机过程
V(t)?X(t)cos?0t?Y(t)sin?0t
（1）X(t)和Y(t)数学期望和相关函数满足那些条件可使V(t)是平稳过程。
（2）在（1）结果的基础上用X(t)和Y(t)的功率谱密度和互谱密度表示的V(t)的 功率谱密度。
（3）如果X(t)和Y(t)不相关，那么V(t)的功率谱密度是什么？
解：（1）E[V(t)]?E[X(t)cos?0t?Y(t)sin?0t]?E[X(t)]cos?0t?E[Y(t)]sin?0t 欲使E[V(t)]与时间无关，不随时间函数cos?0t、sin?0t变化，
X(t)和Y(t)的数学期望必须是E[X(t)]?0,E[Y(t)]?0；
RV(t,t??)?E[V(t)V(t??)]?E[{X(t)cos?0t?Y(t)sin?0t}{X(t??)cos?0(t??)?Y(t??)sin?0(t??)}]?E[X(t)X(t??)]cos?0tcos?0(t??)?E[X(t)Y(t??)]cos?0tsin?0(t??)?E[Y(t)X(t??)]sin?0tcos?0(t??)?E[Y(t)Y(t??)]sin?
0tsin?0(t??)?RX(?)cos?0tcos?0(t??)?RXY(?)cos?0tsin?0(t??)?RYX(?)sin?0tcos?0(t??)?RY(?)sin?0tsin?0(t??)2
在RX(?)?RY(?),RXY(?)??RYX(?)时，上式与时间起点无关：
RV(?)?RX(?)cos?0??RXY(?)sin?0?
因此，当E[X(t)]?0,E[Y(t)]?0，RX(?)?RY(?),RXY(?)??RYX(?)时，
V(t)是平稳过程。
（2）对RV(?)?RX(?)cos?0??RXY(?)sin?0?两边同时作傅氏变换：
??SV(?)?RV(?)e?j??d???RXY(?)sin?0?]e?j??d???????[RX(?)cos?0?
?12[S??????1X(0)?SX(0)]?2j[SXY(???0)?SXY(???0)]（3）X(t)和Y(t)不相关，V(t)的互功率谱密度为零。
S1V(?)?2[SX(???0)?SX(???0)]
4、X(t)?Acos(?0t??)?N(t)，A、?0为常数，?在(0,2?)上均匀分布，
SN(?)?N02，?、N(t)统计独立，X(t)通过传输函数为H(?)?11?j?RC的积
分电路，试求输出信号Y?t?的均值、自相关函数和功率谱密度函数.
解：计算X(t)的均值与自相关函数，
E?X(t)??E?Acos(?0t??)?N(t)??0
RX(t,t??)?E??Acos(?0t??)?N(t)??Acos(?0t??0???)?N(t??)?? =A22cos????N00?2???? SX(?)??A22??(???0)??(???0)??N02
可见X(t)是广义平稳的,因此
E?Y(t)??mXH(0)?0 SY(?)?SX(?)H(j?)2
????A2?2??(???0)??(???N0?10)??2???1?(?RC)22??A2(1??2R2C2)??(???0)??(???N
00)??202(1??2RC2)?R?1Y(?)2?)ej??d?
???SY(??=A22(1??222cos?N0?0??eRC 0RC)4RC
哈尔滨工程大学
2013级硕士研究生随机过程第二次测试
1、设窄带平稳随机过程X(t)=a(t)cos?0t-b(t)sin?0t的功率谱密度SX(?)满足：
???SX(?)=0??2?0??SX(?0+?)=SX(?0??)0???? 0求X(t)的自相关函数及自相关函数的预包络（等效带通形式）和包络。解：RX(?)=E[X(t)X(t??)]
=Ra(?)cos?0tcos?0(t+?)?Rab(?)cos?0tsin?0(t+?)?Rba(?)sin?0tcos?0(t+?)+Rb(?)sin?0tsin?0(t+?)
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因为Ra(?)=Rb(?)，Rab(?)=?Rba(?)
所以RX(?)=Ra(?)cos?0?+Rba(?)sin?0? 根据题意知SX(?)在频带内关于中心频率?0对称， 所以Rba(?)=0，RX(?)=Ra(?)cos?0? 自相关函数的预包络
R0?X(?)=Ra(?)ej?；包络为
Ra(?)
2、某接收机如图所示，乘法器和低通滤波器构成同步检波器。其中窄带中放H1(f)的幅频特性表示为，H1?f??K（f?f0??f,f0?f）。低通滤波器H2(f)的幅频特性表示为H2?f??1（f??f）。输入信号中Si?t??A[1?mx(t)]cos?0t(其中A、?0为常数)，X(t)是包含有用信息的遍历随机信号，其等效噪声带宽小于?f。Ni?t?是功率谱密度为N02的白噪声。求同步检波器输出信噪比以及与输入信噪比之间的关系。
Si(t)?Ni(t)H(f)S(t)?N(t)Hf)Y(t)12(2cos?0t
解：窄带中放的输出信号为S?t??KA[1?mx(t)]cos?0t
输出噪声为窄带高斯噪声N(t)=a(t)cos?0t?b(t)sin?0t 经过乘法器后输出记为Z?t?，则
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哈尔滨工程大学硕士研究生随机过程测试第1页
