华东交通大学2017—2018学年第一学期考试卷
课程名称： 线性代数A 考试时间： 120 分钟 考试方式：闭卷 （A）卷
题号 一 二 三 四 总分 姓名： 学号： 教学班级： 教学小班序号： 得分 阅卷人 一、填空题(每题 3 分，共 15 分)
42?1?2?，则矩阵A的伴随矩阵A*＝ ??1、设矩阵A＝???34??31?? ????2、设方阵A满足A3-2A+E=0，则(A2?2E)?1 = -A . ?2,x)正交，则x? -2. ?1,2)与向量??(2,3、已知向量??(1,得分 4、如果n元齐次线性方程组Ax?0的基础解系含有s(s?n)个解向量， 那么矩阵的秩为RA? n?s 5、设 ?1,?2,?3为方阵
?270??的三个特征值，则?1?2?3＝ 40 A??056????004????二、选择题(每题3 分，共15 分)
?1?13??为奇异矩阵，则?6、若A???12????050???得分 ?( C ).
(A) 1 (B) 2 (C) -3 (D) -4 7、A,B是n阶方阵，则下列结论成立的是( C ).
(A)AB?0?A?0或B?0 (B)A?0?A?0 (C)AB?0?A?0或B?0 (D).A?E?A?1 8、若向量组?1,?2,?,?s的秩为r，则( D ).
(A)必定r?s (B)向量组中任意小于r个向量的部分组线性无关
(C)向量组中任意r个向量线性无关 (D)向量组中任意r?1个向量必定线性相关 9、设A,B为同阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（B ） (A)(A?B)?1?A?1?B?1 (B)(AB)?1?B?1A?1
(C)(ABT)?1?A?1(BT)?1 (D)(kA)?1?kA?1（其中k为非零常数）
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10、设?1,?2,?3,?4都是3维向量，则必有( B )
(A) ?1,?2,?3,?4线性无关 (B) ?1,?2,?3,?4线性相关 (C) ?1可由?2,?3,?4线性表示 (D) ?1不可由?2,?3,?4线性表示
三、解答题(每题8分，共40分) 得分 20210012010。 02
装
11、求行列式0012001021001201002r1?r4r2?r31＝002012002102001r4?2r1r3?2r21?000010002?30200?3?9
┄2分 ┄6分 ┄8分
?10?12??且R(A)<3，求R(A)及数a。 12、已知A??012a????2a?1234??O
订
0?12??12??10?1? ……2分 ???012a012a解：A?????????2a?1234???022a?26?4a???12??10???012a?? ……4分
??002a?26?6a??由于R(A)<3，所以2a?2?0,6?6a?0, ……6分
O
线
O
故a?1,R(A)?2 ……8分
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1,3,7) ?2?(?1.0,1,1,7)?4?(?3,1,0)，?3?(4,13、设向量组?1?(2,?1.0,?3)
?5?(?4,?3,1,3)求一个最大无关组，并用此最大无关组表示其它向量。
解： ??1TT?2T?3T?4 姓名： 学号： 教学班级： 教学小班序号： ?10?T?5??2?1??31??70?1?1?3??4?3?4? ……2分 101??7?33??1?1?3??10?10????0?12?12??0?1???01?2310??00????00?0424????00?1??0??0??0?011?1?3??2?12? ……4分 0212??0424???101?1?3???1?21?2??01?2??0000016????000?0000??3??0?8? ……6分 16??00?? ……8分
0 一个最大线性无关组为 ?1 , ?2 , ?4 ?3??1?2 ?2 , ?5?3 ?1?8 ?2?6 ?4?100??100?14、已知A?E1?E2 且E1??001?，E2??410?。求A的逆矩阵。
???????010???001??解：A?1?1?(E1?E2)?1?E2E1?1 ┄3分
而
E1－1?100??100??，E－1???410???0012???? ┄6分
???010???001??所有
?100??100??100?－1－1???001????401? ┄8分 A?1?E2E1???410????????001????010????010???x1?x2?x3?0
?15、试问 ? 取何值时，齐次线性方程有非零解 ?x1??x2?x3?0?x?x??2x?0 23?1111
D?1?1 ┄2分
11?2 r?r111r?r
0??10?(??1)(??1)2? ┄6分 00?2?1
???1时，有非零解。 ┄8分 当D=0，即
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四、综合题(每题15分，共30分)
?x3?2?x1?16、设线性方程组?x1?2x2?x3?0
?2x?x?ax?b3?12得分 1）讨论当a，b为何值时，方程组无解，有唯一解，有无穷多解，
2）当方程组有无穷解时，求其通解。
12?12??1012??10?10???02? ??01? 12?10?2?2?1?1解 1）因为 ???????????21?ab???01?a?2b?4???00?a?1b?3?? ┄4分 所以当a??1且b?3时，方程组无解； 当a??1时，方程组有唯一解；
当a??1且b?3时，方程组有无穷多解. ┄8分 2??1012??1012??101???02?2?2???01?1?1? ┄10分 12?102）??????????2113???01?1?1????0000??
装 ??1??2????? ????1?为方程组的基础解系，????1?为方程组的一个特解， ┄13分 ?1??0?????则原方程组的通解为：x17、求A＝???3O 订?k??? ?k?R? ┄15分 4?的特征值和特征向量。 ???－1?2?－4 ┄2分 ?＋2 解：A的特征多项式?E?A＝?－31＝?2－?－2＝(?－2)(?＋1） ┄5分 所以A的特征值为?1＝2，?2＝－1 ┄7分 对?1?2，对应的齐次线性方程组为(2E?A)x?0，
??1?4??x1??0???4?????????即?.它的基础解系为： P?1?1????? ??4x01???2?????O 线O 所以A对应于特征值?1?2的全部特征向量为k1P1(k1?0). ┄11分 x?0， 对?2?-1，对应的齐次线性方程组为(-E?A)??4?4??x1??0???1? ?????即?.，它的基础解系为：??p??1???2?x??1??10???2?????所以A对应于特征值?2??1的全部特征向量为k2P2(k2?0). ┄15分 第 4 页 共 4 页 背面有试题
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17-18线性代数第一学期考试卷A - 答案
