令??表示B车司机接收到的笛声的频率，由多普勒效应可知
由（6）、（7）、（8）式，得
2222?222u2??u2v2A?vB?vAvB?vA??vBu?vA?????0
2222222u?vAuvA?vB?vAvB ??u?vBcos?B?t?u?vAcos?A?t1?(8)
?0
????????(9)
七、解法一：
对于由小球A、B和弹簧构成的系统，当A、B之间的距离为l时，已知mA = m，mB = 2m，由质心的定义，可知系统的质心C离A的距离
lC?2l 31lB?l
3 （1）
故A、B到质心C的距离分别为
2lA?l3（2）
O k A 若以质心C为参考系（质心系），则质心C是固定不动的，连接A、B的弹簧可以分成两个弹簧CA和CB．设弹簧CA的自然长度为lA0，劲度系数为kA，一端与小球A相连，另一端固定在C点；弹簧CB的的自然长度
x l C B 为lB0，劲度系数为kB，一端与小球B相连，另一端亦固定在C点．若连接A、B的自然长度为l0，根据题意有
k?l?l0??2mg
（3）
由（2）式可知弹簧CA和CB的自然长度分别为
2lA0?l031lB0?l0
3（4）
当A被悬挂，系统处于静止时，已知连接A、B的弹簧长度为l，由（2）式可知，此时弹
簧CA和CB的长度分别为
2lA?l31lB?l
32kA?l?l0? 3（5）
弹簧CA、CB作用于A、B的弹簧力分别为
fA?kA?lA?lA0??
1fB?kB?lB?lB0??kB?l?l0?
3但fA 、fB就是连接A、B的弹簧因拉伸而产生的弹力f，即有 由此得
fA?fB?f?k?l?l0?
kA?3k2kB?3k
（6）
相对地面，质心C是运动的，在t = 0 时刻，即细线刚烧断时刻，A位于Ox轴的原点O处，即xA?0??0；B的坐标xB?0??l．由（1）式，可知此时质心C的坐标为
xC?0??2l 3（7）
在细线烧断以后，作用于系统的外力是重力?m?2m?g．故质心以g为加速度做匀加速直线运动，任意时刻t，质心的坐标
xC(t)?xC(0)?1221gt?l?gt2 232（8）
由于质心作加速运动，质心系是非惯性系．在非惯性参考系中，应用牛顿第二定律研究物体的运动时，物体除受真实力作用外，还受惯性力作用．若在质心系中取一坐标轴O?x?，原点O?与质心C固连，取竖直向下为O?x?轴的正方向，当小球B在这参考系中的坐标为x?B时，弹簧CB作用于B的弹性力
fB??kB?x?B?lB0?
当x?B?lB0时，方向竖直向上．此外，B还受到重力mg，方向竖直向下；惯性力大小为mg，方向竖直向上．作用于B的合力
由（3）、（4）式得 令 有
FB??kB?x?B?lB0??mg?mg
?2mg??1??FB??kB?x?l?????B3? k????（9）
2mg?1?XB?x?? B??l?3?k?（10）
FB??kBXB
（11）
当XB = 0，作用于B的合力FB = 0，B处于平衡状态，由（10）式，可知在质心系中，B的平衡位置的坐标
2mg?1?x??l??? B03?k?（12）
XB为B离开其平衡位置的位移，（11）式表明，作用于B的合力具有弹性力的性质，故在FB作用下， B将在平衡位置附近作简谐振动，振动圆频率
离开平衡位置的位移
?B?kB?mB3k 2m（13）
XB?ABcos??Bt??B?
（14）
AB为振幅，?B为初相位．在t = 0时刻，即细线刚烧断时刻，B是静止的，故此时B离开其平衡位置x?B0的距离就是简谐振动的振幅AB，而在t = 0时刻，B离开质心的距离即（5）式给出的lB，故B离开平衡位置的距离即振幅
由（5）式、（12）式得
因t = 0，XB =AB，且XB是正的，故 由此得
AB?lB?x?B0
2mg2mg11 AB?l?(l?)?33k3k（15）
?B?0
XB??3k?2mg cos?t???3k?2m?（16）
由（10）式，t时刻B在质心系中的坐标
在地面参考系的坐标
?3k?2mg2mg1? xB?t??(l?)?cos?t???3k3k2m??（17）
xB?t??xC?t??x?B?t?
（18）
得
xB?t??同理，当小球A在质心系中的坐标为x?A时，注意到x?A是负的，这时，弹簧CA的伸长量为
x?A?lA0?x?A?2mg?22?l0?xA??l??， 33?k?当x?A?lA0为负时，弹力向下，为正，当x?A?lA0为正时，弹力向上，为负，故有
作用于A的合力为 令 有
?2mg??2?fA??kA?x?l?????A3? k?????2mg??2?FA??kA?x?l?????A3? k????XA?xA?2mg?2??l?? 3?k?FA??kAXA
当XA=0，作用于A的合力FB = 0，A处于平衡状态，A的平衡位置的坐标
2mg?2?xA0???l??
3?k?（20）
XA为A离开其平衡位置的位移，故在合力FA作用下， A将在平衡位置附近作简谐振动，振动圆频率
离开平衡位置的位置
?A?kA3k? m2m（21）
XA?AAcos??At??A?
AA为振幅，?A为初相位．在t = 0时刻，即细线刚烧断时刻，A是静止的，A离开质心C的距离为lA，A的平衡位置离开质心的距离为xA0故此时A离开平衡位置的距离即为振幅AA，
AA?lA?xA0?2mg?4mg22?l??l? ??33?k?3k而此时XA??AA，故 由此得
在时刻t，A在地面参考系中的坐标
?A?π
XA???3k?4mg cos?t???3k2m??（22）
xA?t??xC?t??xA0?XA?
212?2mg?4mg3kl?gt2??l?cost??323?k?3km(23)?3k??124mg??gt?t???1?cos???23k??2m????
解法二：
当A球相对于地面参考系的坐标为x时，弹簧CA的伸长量为xC? 其加速度为
其相对于质心的加速度为
2l0?x，A所受的合力为 3FA?mg?3?2?k?xC?l0?x? 2?3?aA?g?3?2?k?xC?l0?x? 2m?3?(1?)
a?A?aA?g?3?23?2????k?xC?l0?x???k?x??xC?l0?? 2m?32m?3????2??其中x??xC?l0?表示A球相对于其平衡位置的位移，在相互平动的两个参考系中，相对位
3??移与参考系无关．
上式表明，相对质心，A球的加速度与其相对于平衡位置的位移成正比且反向．也就是说，A球相对质心作简谐振动． 同理可证，
第22届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
