由状态方程式可知
p?V?V0??R?T?T1?
(11)
将（11）式和（4）式代入（10）式，得
??FR?Q???C?R????T?T1? ??2pS?F0??即
T?2?p0S?F?Q??T1
2Cp0S?2CF?2Rp0S?FR（12）
从开始对气体加热到气体温度升高到T( >T1)的过程中，气体从电阻丝吸收的总热量
Q?Q1?Q?
（13）
把（13）式代入到（12）式，并注意到（4）式和（5），得
T??2?p0S?F?CFT0?Q?2Cp0S?2CF?2Rp0S?FR?p0S???p0S?F?T0???p0S??CFT0?Q?Q?1?p0S???? （14） ?由此可知，当Q?Q1?CFT0时，T与Q的关系仍为一直线，此直线起点的坐标为p0SQ?Q1?CFT0，T?T1；斜率为 p0S2?p0S?F?
2Cp0S?2CF?2Rp0S?FR （15）
在T~Q图中，就是直线bd，当热量Q从零开始逐渐增大，气体温度T 将从起始温度T0沿着斜率为Kab的直线ab上升到温度为T1的b点，然后沿着斜率为Kbd的直线bd上升，如图所示．
四、1．相对于车厢参考系，地面连同挡板以速度v趋向光源S运动．由S发出的光经小孔射出后成锥形光束，随离开光源距离的增大，其横截面积逐渐扩大．若距S的距离为L处光束的横截面正好是半径为R的圆面，如图所示，则有 可得
r S l L R rR? lLRl rL? (1)
设想车厢足够长，并设想在车厢前端距S为L处放置一个半径为R的环，相对车厢静止，则光束恰好从环内射出．当挡板运动到与此环相遇时，挡板就会将光束完全遮住．此时，在车厢参考系中挡板离光源S的距离就是L．在车厢参考系中，初始时，根据相对论，挡板离光源的距离为
故出现挡板完全遮住光束的时刻为
2xA1??vc?
(2)
由（1）、（3）式得
x1??vc??Lt?A
v2(3)
x1??vc?Rlt?A?
vrv2(4)
2．相对于地面参考系，光源与车厢以速度v向挡板运动．光源与孔之间的距离缩短为
2l'?l1??vc?
(5)
而孔半径r不变，所以锥形光束的顶角变大，环到S的距离即挡板完全遮光时距离应为
Rl'Rlv2L'??1?2
rrc(6)
初始时，挡板离S的距离为xA，出现挡板完全遮住光束的时刻为
xA?L'xARlv2t????1?2
vvrvc(7)
五、用半径分别为r1（>a1），r2，…，ri，…，rn–1（ 割成n个细圆环．第i个细圆环的宽度为Δri?ri?ri?1，其环带面积 ΔSi?πr2i?π?r2i?Δri??2πriΔri 式中已略去高阶小量(Δri)2．，该细圆环带上、下表面所带电荷量之和为 Δq2σ04π?0Δrii?2σΔSi?r22πriΔri?ir i设时刻t，细圆环转动的角速度为??，?? ???0??t? 单位时间内，通过它的“横截面”的电荷量，即为电流 ΔI??i?Δq?i0Δri2π?2r i由环形电流产生磁场的规律，该细圆环的电流在环心产生的磁感应强度为 ΔBi?kΔIi2??0Δrir?k (1) ir2i式中Δri是一个微小量，注意到riri?1?ri?ri?Δr2i??ri，有 Δrir2?ri?ri?111rr?? (2) iii?1ri?1ri将各细圆环产生的磁场叠加，由（1）、（2）式得出环心O点处的磁感应强度： B?2k??0(a2?a1)aa (3) 12 Φ?BS?2k??0(a2?a1)aπa20 (4) 1a2由于?是变化的，所以上述磁通量是随时间变化的，产生的感应电动势的大小为 E???2k?220(a2?a1)πa0??2k?0(a2?a1)πa0??t?a? 1a2?ta1a(5) 2由全电路欧姆定律可知，导线环内感应电流的大小为 I?E2k?2 0(a2?a1)πa0?R?a (6) 1a2R设题图中薄圆环带正电作逆时针旋转，穿过导线圆环的磁场方向垂直纸面向外，由于薄 a0< 由于 圆环环作减角速转动，穿过导线圆环的磁场逐渐减小，根据楞次定律，导线圆环中的感应电流亦为逆时针方向，导线圆环各元段?l所受的安培力都沿环半径向外．现取对于y轴两对称点U、V，对应的二段电流元I?l所受的安培力的大小为 方向如图所示，它沿x及y方向分量分别 Q O ?fx y ?f U ?l ?fy M ?fy??y ?l ?x V ?fx?x N ?f? ?f?BI?l (7) ??????fx?BI?l?cos??BI?y (8) (9) ?fy?BI?l?sin??BI?x 根据对称性，作用于沿半个导线圆环QMN上的各电流元的安培力的x分量之和相互抵消，即 （式中?y??lcos?，当??fx??BIΔy?BI?Δy?0 ， ??y?0） (10) ππ时，?y是正的，当??时，?y是负的，故22而作用于沿半个导线圆环QMN上的各电流元的安培力的y分量之和为 fy??BIΔx?BI?Δx?BI2a0 0(11) ）， （式中?x??lsin?，由于??在0??之间?x都是正的，故 ??x?2a即半个导线圆环上受的总安培力的大小为BI2a0，方向沿y正方向，由于半个圆环处于平衡状态，所以在导线截面Q、N处所受（来自另外半个圆环）的拉力（即张力）F应满足2F?BI2a0．由（3）、（6）两式得 F?BIa0?234k2?0πa0(a2?a1)2?2a12a2R??0??t? (12) 由（12）式可见，张力F随时间t线性减小． 六、如图所示，t时刻汽车B位于B?t?处，距O点的距离为vBt．此时传播到汽车B的笛声不是t时刻而是较早时刻t1由A车发出的．汽车A发出此笛声时位于A?t1?处，距O点的距离为vAt1．此笛声由发出点到接收点（t时刻B车所在点）所传播的路程为u(t–t1)，由几何关系可知 (vBt)2??vAt1??[u(t?t1)]2 (1) 2A(t1) ?A(t1) O A(t) vA B(t) ?B(t) vB 即 22222(u2?v2A)t1?2utt1?(u?vB)t?0 这是以t1为变量的一元二次方程，其解为 ?u2?u2(v2?v2)?v2v2ABABt1????u2?v2A???t ???由于u2?u2?v2A，但t1< t，所以上式中只能取减号 t1?2222u2?u2(vA?vB)?vAvB2u2?vAt (2) 令 有 t?t1?22222u2(vA?vB)?vAvB?vAu 22?vAt (3) 222u2(v2A?vB)?vAvB?k (4) 2k?vAu2?kt1?2t， t-t1?2t 22u?vAu?vA (5) 在t1时刻，位于A?t1?处的汽车A发出的笛声沿直线（即波线）A?t1?B?t?在t时刻传到B?t?处，以?A?t1?、?B?t?分别表示车速与笛声传播方向的夹角，有 vAt1vA(u2?k)? cos?A?t1?? 2u?t-t1?u(k?vA)vBtvB(u2?v2A)cos?B?t??? u?t-t1?u(k?v2)A(6) (7)
第22届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
