第22届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
一、1．如图所示，设滑块出发点为P1，离开点为P2，按题意要求O1P1、O2P2与竖直方向的夹角相等，设其为?，若离开滑道时的速度为v，
A 则滑块在P2处脱离滑道的条件是
O1 ?? (1)
P1 O P2 mv2 ?mgcos?
R由机械能守恒
??O2 (2)
B 12mgR(1?cos?)?mv2
2(1)、(2)联立解得
cos??44或??arccos?36?52? 552mv0?mg R(3)
2．设滑块刚能在O点离开滑道的条件是
v0为滑块到达O点的速度，由此得
（4）
v0?Rg （5）
设到达O点的速度为v0的滑块在滑道OA上的出发点到O1的连线与竖直的夹角为?0，由机械能守恒，有
由（5）、（6）两式解得
mgR(1?cos?0)?12 mv02（6）
?0?π 3（7）
若滑块到达O点时的速度v?v0，则对OB滑道来说，因O点可能提供的最大向心力为mg，故滑块将沿半径比R大的圆周的水平切线方向离开O点．对于v?v0的滑块，其在OA上出发点的位置对应的?角必大于?0，即???0，由于?max?π2，根据机械能守恒，到达O点的最大速度
vmax?2Rg
（8）
由此可知，能从O点离开滑道的滑块速度是v0到vmax之间所有可能的值，也就是说，?从π3
至π2下滑的滑块都将在O点离开滑道．以速度v0从O点沿水平方向滑出滑道的滑块，其落水点至O2的距离
由（5）、（9）、（10）式得
x0?v0t
（9） （10）
R?12gt 2x0?2R
（11）
当滑块以vmax从O点沿水平方向滑出滑道时，其落水点到O2的距离
由（8）、（10）、（12）式得
xmax?vmaxt
（12）
xmax?2R
（13）
因此，凡能从O点脱离滑道的滑块，其落水点到O2的距离在2R到2R之间的所有可能值．即
二、1．由静电感应知空腔1、2及3的表面分别出现电量为?q1、?q2和?q3的面电荷，由电荷守恒定律可知，在导体球的外表面呈现出电量q1?q2?q3．由静电屏蔽可知，点电荷q1及感应电荷（?q1）在空腔外产生的电场为零；点电荷q2及感应电荷（?q2）在空腔外产生的电场为零；点电荷q3及感应电荷（?q3）在空腔外产生的电场为零．因此，在导体球外没有电荷时，球表面的电量q1?q2?q3作球对称分布．
当球外P点处放置电荷Q后，由于静电感应，球面上的总电量仍为?q1?q2?q3?，但这些电荷在球面上不再均匀分布，由球外的Q和重新分布在球面上的电荷在导体球内各点产生的合场强为零．
O3处的电势由位于P点处的Q、导体球表面的电荷?q1?q2?q3?及空腔3表面的感应电荷（?q3）共同产生．无论?q1?q2?q3?在球面上如何分布，球面上的面电荷到O点的距离
2R?x?2R （14）
都是R，因而在O点产生的电势为kq1?q2?q3R， Q在O点产生的电势为kQ2R，这两部分电荷在O3点产生的电势U?与它们在O点产生的电势相等，即有
U??k??q1?q2?q3?R?Q?2R???k??Q?2q1?2q2?2q3??2R??
（1）
因q3放在空腔3的中心处，其感应电荷?q3在空腔3壁上均匀分布．这些电荷在O3点产生的电势为
U???k?q3r 根据电势叠加定理，O3点的电势为
U?U??U???k??Q?2q1?2q2?2q3?2R?q3?r??
故q3的电势能
W?q?Q?2q1?2q2?2q3q3?3U?kq3??2R?r??
2． 由于静电屏蔽，空腔1外所有电荷在空腔1内产生的合电场为零，空腔1内的电荷q1仅受到腔内壁感应电荷?q1的静电力作用，因q1不在空腔1的中心O1点，所以感应电荷?q1在空腔表面分布不均匀，与q1相距较近的区域电荷面密度较大，对q1的吸力较大，在空腔表面感应电荷的静电力作用下，q1最后到达空腔1表面，与感应电荷?q1中和．同理，空腔2中q2也将在空腔表面感应电荷?q2的静电力作用下到达空腔2的表面与感应电荷?q2中和．达到平衡后，腔1、2表面上无电荷分布，腔3表面和导体球外表面的电荷分布没有变化．O3的电势仍由球外的电荷Q和导体球外表面的电量?q1?q2?q3?及空腔3内壁的电荷?q3共同产生，故O3处的电势U与q3的电势能W仍如(3)式与(4)式所示．
三、答案如图所示．
(2)
(3)
(4)
T
T?p0S?F?1?pST0d 0
b ?2 tan?2 2=?p0S?F?2CpS?2CF?2Rp 00S?FR
tan?1?1 1?C T 0 a QCFT0附
1?p 0SQ 计算
过程：
电阻通电后对气体缓慢加热，气体的温度升高，压强增大，活塞开始有向外运动的趋势，但在气体对活塞的作用力尚未达到外界大气对活塞的作用力和器壁对活塞的最大静摩擦之和以前，活塞不动，即该过程为等容过程．因气体对外不做功，根据热力学第一定律可知，在气体温度从T0升高到T的过程中，气体从电阻丝吸收的热量，
Q?C?T?T0?
此过程将持续到气体对活塞的作用力等于外界大气对活塞的作用力和器壁对活塞的最大静摩擦之和．若用T1表示此过程达到末态的温度，p表示末态的压强，Q1表示此过程中气体从电阻丝吸收的热量，由等容过程方程有
pT1p? 0T0由力的平衡可知
pS?p0S?F
由（2）、（3）两式可得
(1)
(2)
(3)
T1??p0S?F?T0p0S (4)
代入(1)式得
Q1?CFT0 p0S(5)
由以上讨论可知，当Q?Q1时，T与Q的关系为
T?Q?T0 C(6)
在T~Q图中为一直线如图中ab所示，其斜率
Kab?1 C(7)
直线在T轴上的截距等于T0，直线ab的终点b的坐标为（T1，Q1）．
当电阻丝继续加热，活塞开始向外运动以后，因为过程是缓慢的，外界大气压及摩擦力皆不变，所以气体的压强不变，仍是p，气体经历的过程为等压过程．在气体的体积从初始体积V0增大到V，温度由T1升高到T的过程中，设气体从电阻丝吸收的热量为Q?，活塞运动过程中与器壁摩擦生热的一半热量为q，由热力学第一定律可知
Q??q?C?T?T1??p?V?V0?
(8)
q可由摩擦力做功求得，即
q?1?V?V0?F?? 2?S?(9)
代入（8）式得
Q??F?V?V0??C?T?T1??p?V?V0? 2S(10)
第22届全国中学生物理竞赛复赛题参考解答
