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www.jyeoo.com ∴2(ab+bc+ac)=2(a+b+c), 222即(a﹣b)+(b﹣c)+(c﹣a)=0, ∴a﹣b=0,b﹣c=0,c﹣a=0, ∴a=b=c. 本题考查了完全平方式、非负数的性质.两数的平方和,再加上或减去它们积的2倍,就构成了一个完全平方式. 222点评: 14.(20分)(2010?钦州)如图,将OA=6,AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中,动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发,其中点M沿AO向终点O运动,点N沿CB向终点B运动,当两个动点运动了t秒时,过点N作NP⊥BC,交OB于点P,连接MP. (1)点B的坐标为 (6,4) ;用含t的式子表示点P的坐标为 (t,t) ;
(2)记△OMP的面积为S,求S与t的函数关系式(0<t<6);并求t为何值时,S有最大值? (3)试探究:当S有最大值时,在y轴上是否存在点T,使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分,且三角形的面积是△ONC面积的?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.
考点: 专题: 分析: 二次函数的最值;一次函数的应用;三角形的面积;矩形的性质. 压轴题. (1)由OA=6,AB=4,易得点B的坐标为(6,4);由图可得,点P的横坐标=CN=t,纵坐标=4﹣NP,NP的值可根据相似比求得; (2)由(1)的结论易得△OMP的高为t,而OM=6﹣AM=6﹣t,再根据三角形的面积公式即可求得S与t的函数关系式,再由二次函数的最值求法,求得t为何值时,S有最大值; (3)由(2)求得点M、N的坐标,从而求得直线ON的函数关系式;设点T的坐标为(0,b),可得直线MT的函数关系式,解由两个关系式组成的方程组,可得点直线ON与MT的交点R的坐标;由已知易得S△OCN=×4×3=6,∴S△ORT=S△OCN=2;然后分两种情况考虑:①当点T在点O、C之间时,②当点T在点OC的延长线上,从而求得符合条件的点T的坐标. 解:(1)延长NP交OA于H, ∵矩形OABC, ∴BC∥OA,∠OCB=90°, ∵PN⊥BC, ∴NH∥OC, ∴四边形CNHO是平行四边形, ∴OH=CN, ∵OA=6,AB=4, ∴点B的坐标为(6,4); 由图可得,点P的横坐标=0H=CN=t,纵坐标=4﹣NP, 页 (共 11 页) 九年级预赛试卷第 11
解答:
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www.jyeoo.com ∵NP⊥BC, ∴NP∥OC, ∴NP:OC=BN:CB, 即NP:4=(6﹣t):t, ∴NP=4﹣t, ∴点P的纵坐标=4﹣NP=t, 则点P的坐标为(); (其中写对B点得1分)(3分) (2)∵S△OMP=×OM×∴S=×(6﹣t)×==,(4分) +2t. (0<t<6).(6分) ∴当t=3时,S有最大值.(7分) (3)存在. 由(2)得:当S有最大值时,点M、N的坐标分别为:M(3,0),N(3,4), 则直线ON的函数关系式为:. , 设点T的坐标为(0,b),则直线MT的函数关系式为:解方程组得, ∴直线ON与MT的交点R的坐标为∵S△OCN=×4×3=6, ∴S△ORT=S△OCN=2.(8分) . ①当点T在点O、C之间时,分割出的三角形是△OR1T1,如图,作R1D1⊥y轴,D1为垂足, 则S△OR1T1=RD1?OT=?∴3b﹣4b﹣16=0,b=∴b1=,b2=2?b=2. . (不合题意,舍去) ).(9分) 此时点T1的坐标为(0,②当点T在OC的延长线上时,分割出的三角形是△R2NE,如图,设MT交CN于点E, 页 (共 12 页) 九年级预赛试卷第 12
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www.jyeoo.com 由①得点E的横坐标为S△R2NE=?EN?R2D2=?∴b+4b﹣48=0,b=∴b1=,b2=∴此时点T2的坐标为(0,2,作R2D2⊥CN交CN于点D2,则 ?. (不合题意,舍去). ). ),T2(0,)符合条件.(10分) ==2. 综上所述,在y轴上存在点T1(0, 点评: 15.(20分)对于给定的抛物线y=x+ax+b,使实数p、q适合于ap=2(b+q)
2
(1)证明:抛物线y=x+px+q通过定点;
22
(2)证明:下列两个二次方程,x+ax+b=0与x+px+q=0中至少有一个方程有实数解. 考点: 二次函数图象上点的坐标特征;根的判别式. 专题: 证明题. 分析: 222(1)由已知求得q=﹣b,代入抛物线y=x+px+q,得y=x+px+﹣b,将抛物线y=x+ax+b的此题综合性较强,考查了点的坐标、平行线分线段成比例、二次函数的最值、一次函数 的应用等知识点. 2
顶点横坐标x=﹣代入可求y的值,确定结果为顶点纵坐标即可; (2)方程x+ax+b=0与x+px+q=0的判别式分别为a﹣4b,p﹣4q,由2q=ap﹣2b可得出两个判别式的和为非负数,可知其中至少有一个判别式为非负数,故至少有一个方程有实数解. 解答: 证明:(1)由ap=2(b+q),得q=得:﹣y+x﹣b+p(x+)=0, 22222﹣b,代入抛物线y=x+px+q, 2得, 页 (共 13 页) 九年级预赛试卷第 13
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www.jyeoo.com 解得:, 故抛物线y=x+px+q通过定点(﹣, 2). 点评:
(2)由2q=ap﹣2b得p﹣4q=p﹣2?2q=p﹣2(ap﹣2b)=(p﹣a)﹣(a﹣4b), 222∴(p﹣4q)+(a﹣4b)=(p﹣a)≥0, 22∴p﹣4q,a﹣4b中至少有一个非负, 22∴x+ax+b=0与x+px+q=0中至少有一个方程有实数解. 本题考查了抛物线上的点及顶点的坐标特点,判别式判断一元二次方程解的运用,明确两个数的和为非负数时,其中至少有一个数为非负数. 22222 页 (共 14 页) 九年级预赛试卷第 14
2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案最新
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