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www.jyeoo.com ∴2（ab+bc+ac）=2（a+b+c）， 222即（a﹣b）+（b﹣c）+（c﹣a）=0， ∴a﹣b=0，b﹣c=0，c﹣a=0， ∴a=b=c． 本题考查了完全平方式、非负数的性质．两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式． 222点评： 14．（20分）（2010?钦州）如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP． （1）点B的坐标为 （6，4） ；用含t的式子表示点P的坐标为 （t，t） ；
（2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6）；并求t为何值时，S有最大值？ （3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
考点： 专题： 分析： 二次函数的最值；一次函数的应用；三角形的面积；矩形的性质． 压轴题． （1）由OA=6，AB=4，易得点B的坐标为（6，4）；由图可得，点P的横坐标=CN=t，纵坐标=4﹣NP，NP的值可根据相似比求得； （2）由（1）的结论易得△OMP的高为t，而OM=6﹣AM=6﹣t，再根据三角形的面积公式即可求得S与t的函数关系式，再由二次函数的最值求法，求得t为何值时，S有最大值； （3）由（2）求得点M、N的坐标，从而求得直线ON的函数关系式；设点T的坐标为（0，b），可得直线MT的函数关系式，解由两个关系式组成的方程组，可得点直线ON与MT的交点R的坐标；由已知易得S△OCN=×4×3=6，∴S△ORT=S△OCN=2；然后分两种情况考虑：①当点T在点O、C之间时，②当点T在点OC的延长线上，从而求得符合条件的点T的坐标． 解：（1）延长NP交OA于H， ∵矩形OABC， ∴BC∥OA，∠OCB=90°， ∵PN⊥BC， ∴NH∥OC， ∴四边形CNHO是平行四边形， ∴OH=CN， ∵OA=6，AB=4， ∴点B的坐标为（6，4）； 由图可得，点P的横坐标=0H=CN=t，纵坐标=4﹣NP， 页 （共 11 页） 九年级预赛试卷第 11
解答：
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www.jyeoo.com ∵NP⊥BC， ∴NP∥OC， ∴NP：OC=BN：CB， 即NP：4=（6﹣t）：t， ∴NP=4﹣t， ∴点P的纵坐标=4﹣NP=t， 则点P的坐标为（）； （其中写对B点得1分）（3分） （2）∵S△OMP=×OM×∴S=×（6﹣t）×==，（4分） +2t． （0＜t＜6）．（6分） ∴当t=3时，S有最大值．（7分） （3）存在． 由（2）得：当S有最大值时，点M、N的坐标分别为：M（3，0），N（3，4）， 则直线ON的函数关系式为：． ， 设点T的坐标为（0，b），则直线MT的函数关系式为：解方程组得， ∴直线ON与MT的交点R的坐标为∵S△OCN=×4×3=6， ∴S△ORT=S△OCN=2．（8分） ． ①当点T在点O、C之间时，分割出的三角形是△OR1T1，如图，作R1D1⊥y轴，D1为垂足， 则S△OR1T1=RD1?OT=?∴3b﹣4b﹣16=0，b=∴b1=，b2=2?b=2． ． （不合题意，舍去） ）．（9分） 此时点T1的坐标为（0，②当点T在OC的延长线上时，分割出的三角形是△R2NE，如图，设MT交CN于点E， 页 （共 12 页） 九年级预赛试卷第 12
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www.jyeoo.com 由①得点E的横坐标为S△R2NE=?EN?R2D2=?∴b+4b﹣48=0，b=∴b1=，b2=∴此时点T2的坐标为（0，2，作R2D2⊥CN交CN于点D2，则 ?． （不合题意，舍去）． ）． ），T2（0，）符合条件．（10分） ==2． 综上所述，在y轴上存在点T1（0， 点评： 15．（20分）对于给定的抛物线y=x+ax+b，使实数p、q适合于ap=2（b+q）
2
（1）证明：抛物线y=x+px+q通过定点；
22
（2）证明：下列两个二次方程，x+ax+b=0与x+px+q=0中至少有一个方程有实数解． 考点： 二次函数图象上点的坐标特征；根的判别式． 专题： 证明题． 分析： 222（1）由已知求得q=﹣b，代入抛物线y=x+px+q，得y=x+px+﹣b，将抛物线y=x+ax+b的此题综合性较强，考查了点的坐标、平行线分线段成比例、二次函数的最值、一次函数 的应用等知识点． 2
顶点横坐标x=﹣代入可求y的值，确定结果为顶点纵坐标即可； （2）方程x+ax+b=0与x+px+q=0的判别式分别为a﹣4b，p﹣4q，由2q=ap﹣2b可得出两个判别式的和为非负数，可知其中至少有一个判别式为非负数，故至少有一个方程有实数解． 解答： 证明：（1）由ap=2（b+q），得q=得：﹣y+x﹣b+p（x+）=0， 22222﹣b，代入抛物线y=x+px+q， 2得， 页 （共 13 页） 九年级预赛试卷第 13
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www.jyeoo.com 解得：， 故抛物线y=x+px+q通过定点（﹣， 2）． 点评：
（2）由2q=ap﹣2b得p﹣4q=p﹣2?2q=p﹣2（ap﹣2b）=（p﹣a）﹣（a﹣4b）， 222∴（p﹣4q）+（a﹣4b）=（p﹣a）≥0， 22∴p﹣4q，a﹣4b中至少有一个非负， 22∴x+ax+b=0与x+px+q=0中至少有一个方程有实数解． 本题考查了抛物线上的点及顶点的坐标特点，判别式判断一元二次方程解的运用，明确两个数的和为非负数时，其中至少有一个数为非负数． 22222 页 （共 14 页） 九年级预赛试卷第 14
2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案最新
