2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题及答案最新

由天下分享时间：2024/12/13 13:01:47 加入收藏我要投稿点赞

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www.jyeoo.com 故选A．点评：本题考查了圆的面积公式：S=πR．也考查了不规则图形的面积的求法，即转化为规则的几何图形的面积的和或差来解决． 25．（5分）设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数在x=1时取最小值，则△ABC

是（） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形考点：二次函数的最值；勾股定理的逆定理．专题：计算题．分析：根据二次函数在对称轴时取得最小值，然后根据题意列出方程组即可求出答案；解答：解：由题意可得，即， 222所以，，因此a+c=b，点评：所以△ABC是直角三角形，故选D．本题考查了二次函数的最值，难度不大，关键是掌握二次函数在二次项系数大于0时，在对称轴处取得最小值． 6．（5分）计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则．如图，堆栈（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b，a，取出数据的顺序是a，b；堆栈（2）的3个连续存储单元已依次存人数据e，d，c，取出数据的顺序则是c，d，e，现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（）

A． 5种考点：

B．6 种加法原理与乘法原理． C． 10种 D．1 2种页（共 6 页）九年级预赛试卷第 6

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www.jyeoo.com 专题：计算题．分析：此题实际可以理解为a、b、c、d、e这五个字母组成的排列中，不论怎样排列，a、b先后顺序和c、d、e排列的顺序不变，这样排列开头的字母只能是a或c，由此解答问题即可．解答：解：先取出堆栈（1）的数据首次取出的只能是a，可以有下列情况， abcde，acbde，acdbe，acdeb四种情况；先取出堆栈（2）的数据首次取出的只能是c，可以有下列情况， cdeab，cdabe，cdaeb，cabde，cadbe，cadeb六种情况；综上所知，共10种取法．故选C．点评：解决此题的关键是要搞清a、b先后顺序和c、d、e排列的顺序不变，从而运用一一列举的方法解答即可．二．填空题（共3小题，满分15分，每小题5分）

7．（5分）设方程x﹣|2x﹣1|﹣4=0，则满足该方程的所有根之和为 _________ ．考点：解一元二次方程-因式分解法；绝对值；解一元二次方程-公式法．专题：因式分解．分析：因为题目中带有绝对值符号，所以必须分两种情况进行讨论，去掉绝对值符号，得到两个一元二次方程，求出方程的根，不在讨论范围内的根要舍去．解答： 2解：当2x﹣1≥0时，即x≥，原方程化为：x﹣2x﹣3=0，（x﹣3）（x+1）=0， x1=3，x2=﹣1，∵﹣1＜∴x2=﹣1（舍去） ∴x=3 当2x﹣1＜0，即x＜时，原方程化为：x+2x﹣5=0，（x+1）=6， x+1=±∵﹣1+，x1=﹣1+，x2=﹣1﹣ 22＞，∴x1=﹣1+（舍去）点评： ∴x=﹣1﹣．则3+（﹣1﹣）=2﹣．故答案是：2﹣ 本题考查的是解一元二次方程，由于带有绝对值符号，必须对题目进行讨论，对不在讨论范围内的根要舍去． 8．（5分）（人教版考生做）如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为 _________ ．

考点：分析：解答：切割线定理；平行四边形的性质；圆周角定理；弦切角定理．连接CE，根据圆周角定理易知：∠BAE=∠BEC+∠EBC，而∠DCB=∠DCE+∠BCE，这两个等式中，由弦切角定理知：∠DCE=∠EBC；再由平行四边形的性质知：∠DCB=∠EAB，因此∠BEC=∠BCE，即可得BC=BE=5，即AD=5，进而可由切割线定理求DE的长．解：连接CE； ∵，页（共 7 页）九年级预赛试卷第 7

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www.jyeoo.com ∴∠BAE=∠EBC+∠BEC； ∵∠DCB=∠DCE+∠BCE，由弦切角定理知：∠DCE=∠EBC，由平行四边形的性质知：∠DCB=∠BAE， ∴∠BEC=∠BCE，即BC=BE=5， ∴AD=5；由切割线定理知：DE=DC÷DA=故选D． 2，点评：此题主要考查了平行四边形的性质、切割线定理、弦切角定理以及圆周角定理的综合应用，能够判断出△BEC是等腰三角形，是解决此题的关键． 8．（5分）（北师大版考生做）如图B，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则

FG的值为 _________ ． AF

考点：分析：解答：特殊角的三角函数值；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．首先证明△CAD≌△ABE，得出∠ACD=∠BAE，证明∠AFG=60°．解：在△CAD与△ABE中， AC=AB，∠CAD=∠ABE=60°，AD=BE， ∴△CAD≌△ABE． ∴∠ACD=∠BAE． ∵∠BAE+∠CAE=60°， ∴∠ACD+∠CAE=60°． ∴∠AFG=∠ACD+∠CAE=60°．在直角△AFG中， ∵sin∠FAG=∴点评： FG， AFFG1=． AF2本题主要考查了全等三角形的判定、性质，等边三角形、三角形的外角的性质，特殊角的三角函数值及三角函数的定义．综合性强，有一定难度． 9．（5分）已知a﹣a﹣1=0，且考点：

?2，则x= ． 3解分式方程．页（共 8 页）九年级预赛试卷第 8

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www.jyeoo.com 专题：计算题． 2234分析：本题可先根据a﹣a﹣1=0，得出a，a，a的值，然后将等式化简求解． 2解答：解：由题意可得a﹣a﹣1=0 a=a+1 42222a=（a）=（a+1）=a+2a+1=a+1+2a+1=3a+2 322a=a?a=a（a+1）=a+a=a+1+a=2a+1 =?22 32 3=?点评： x=4． 2本要先根据给出的a﹣a﹣1=0得出对等式化简有用的一些信息，然后再将方程化简求解．本题计算过程较长，比较复杂． 10．（5分）甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 12 件．考点：二元一次方程组的应用．分析：设共购商品2x件，9元的商品a件，根据两人购买商品的件数相等，且两人购买商品一共花费了172元，可列出方程，求解即可．解答：解：设共购商品2x件，9元的商品a件，则8元商品为（2x﹣a）件，根据题意得： 8（2x﹣a）+9a=172，解得a=172﹣16x， ∵依题意2x≥a，且a=172﹣16x≥0，x为大于0的自然数， ∴可得9.6≤x≤10.75， ∴x=10，则a=12．所以9元的商品12件，故答案填12．点评：本题主要考查了二元一次方程的应用及不等式组的解法．解题关键是弄清题意，找到合适的等量关系，列出方程．本题解题的关键在于按生活实际讨论未知数的取值范围． 11．（5分）如图，电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD与地面成45°，

∠A=60°，CD=4m，，则电线杆AB的长为 _________ 米．

考点：专题：分析：解答：解直角三角形的应用-坡度坡角问题．应用题．延长AD交地面于E，作DF⊥BE于F，求出BE=BC+CF+FE=解：延长AD交地面于E，作DF⊥BE于F． ∵∠DCF=45°．CD=4． ∴CF=DF=．由题意知AB⊥BC． ∴∠EDF=∠A=60°．，根据正切求出AB的值即可．页（共 9 页）九年级预赛试卷第 9

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www.jyeoo.com ∴∠DEF=30° ∴EF=． ∴BE=BC+CF+FE=．在Rt△ABE中，∠E=30°． ∴AB=BEtan30°=答：电线杆AB的长为6米．（m）．点评：

12．（5分）若实数x，y，使得

这四个数中的三个相同的数值，则所有具有这样性质的数对(x,y)

此题主要是运用所学的解直角三角形的知识解决实际生活中的问题．作辅助线、求出BE=BC+CF+FE是解题的关键．为 _________ ．考点：实数的运算．专题：分类讨论．分析：此题可以先根据分母不为0确定x+y与x﹣y不相等，再分类讨论即可．解答：解：因为有意义，所以y不为0，故x+y和x﹣y不等（1）x+y=xy=解得y=﹣1，x=，（2）x﹣y=xy=解得y=﹣1，x=﹣，答案为（﹣1，）（﹣1，﹣）点评：解答本题的关键是确定x+y与x﹣y不相等，再进行分类讨论．三．解答题（共4小题，满分80分，每小题20分） 13．（20分）已知：（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式．求证：a=b=c 考点：完全平方式．专题：计算题．分析： 2先把原式展开，合并，由于它是完全平方式，故有3x+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）=[x+（a+b+c）]，2解答：化简有ab+bc+ac=a+b+c，那么就有（a﹣b）+（b﹣c）+（c﹣a）=0，三个非负数的和等于0，则每一个非负数等于0，故可求a=b=c． 2解：原式=3x+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）， ∵（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式， ∴3x+2（a+b+c）x+（ab+bc+ac）=[22222222222x+（a+b+c）]， 2∴ab+bc+ac=（a+b+c）=（a+b+c+2ab+2ac+2bc）， ∴ab+bc+ac=a+b+c，

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