中国教育学会中学数学数学专业委员会 2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题
一．选择题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．（5分）从长度是2cm、2cm、4cm、4cm的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ） A． B． C． D．1 2．（5分）（2008?铜仁地区）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，
BC=10，MN=1.5，则△ABC的周长是（ ）
A． 28 B．3 2 2
18 C． 2
D．2 5 3．（5分）已知xy≠1,且有5x+2011x+9=0,9y+2011y+5=0，则 A． 5B． 9C． 2011x的值等于( ) y?9 9 5 ?5 D． 2011 4．（5分）已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜线的阴影图形）的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）
A． 6 B．7 8 C． D．9 5．（5分）设a，b，c是△ABC的三边长，二次函数在x=1时取最小值，则△ABC
是（ ） A． 等腰三角形 B．锐 角三角形 C． 钝角三角形 D．直 角三角形 6．（5分）计算机中的堆栈是一些连续的存储单元，在每个堆栈中数据的存入、取出按照“先进后出’’的原则．如图，堆栈（1）的2个连续存储单元已依次存入数据b，a，取出数据的顺序是a，b；堆栈（2）的3个连续存储单元已
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www.jyeoo.com 依次存人数据e，d，c，取出数据的顺序则是c，d，e，现在要从这两个堆栈中取出这5个数据（每次取出1个数据），则不同顺序的取法的种数有（ ）
A． 5种 B．6 种 C． 10种 D．1 2种 二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
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7．（5分）设方程x﹣|2x﹣1|﹣4=0，则满足该方程的所有根之和为 _________ ． 8．（5分）（人教版考生做）如图，在平行四边形ABCD中，过A、B、C三点的圆交AD于E，且与CD相切．若AB=4，BE=5，则DE的长为 _________ ．
8．（5分）（北师大版考生做）如图B，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC边上的点，AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD于点G，则
FG的值为 _________ ． AF
9．（5分）已知a﹣a﹣1=0，且
2
?2，则x= _________ ． 3 10．（5分）甲乙两人到特价商店购买商品，已知两人购买商品的件数相等，且每件商品的单价只有8元和9元，若两人购买商品一共花费了172元，则其中单价为9元的商品有 _________ 件． 11．（5分）如图，电线杆AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，若CD与地面成45°，∠A=60°，CD=4m，
，则电线杆AB的长为 _________ 米．
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www.jyeoo.com 12．（5分）若实数x，y，使得
这四个数中的三个相同的数值，则所有具有这样性质的数对(x,y)
为 _________ ．
三．解答题（共4小题，满分80分，每小题20分） 13．（20分）已知：（x+a）（x+b）+（x+b）（x+c）+（x+c）（x+a）是完全平方式． 求证：a=b=c 14．（20分）（2010?钦州）如图，将OA=6，AB=4的矩形OABC放置在平面直角坐标系中，动点M、N以每秒1个单位的速度分别从点A、C同时出发，其中点M沿AO向终点O运动，点N沿CB向终点B运动，当两个动点运动了t秒时，过点N作NP⊥BC，交OB于点P，连接MP．
（1）点B的坐标为 _________ ；用含t的式子表示点P的坐标为 _________ ； （2）记△OMP的面积为S，求S与t的函数关系式（0＜t＜6）；并求t为何值时，S有最大值？ （3）试探究：当S有最大值时，在y轴上是否存在点T，使直线MT把△ONC分割成三角形和四边形两部分，且三角形的面积是△ONC面积的？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（20分）对于给定的抛物线y=x+ax+b，使实数p、q适合于ap=2（b+q）
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（1）证明：抛物线y=x+px+q通过定点；
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（2）证明：下列两个二次方程，x+ax+b=0与x+px+q=0中至少有一个方程有实数解．
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2013年全国初中数学竞赛九年级预赛试题
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分160分，每小题20分） 1．（5分）从长度是2cm、2cm、4cm、4cm的四条线段中任意选三条线段，这三条线段能够组成等腰三角形的概率是（ ） A． B． C． D．1 考点： 分析： 解答： 概率公式；三角形三边关系；等腰三角形的判定． 根据随机事件概率大小的求法，找准两点： ①符合条件的情况数目； ②全部情况的总数． 二者的比值就是其发生的概率的大小． 解：从长度是2cm、2cm、4cm、4cm的四条线段中任意选三条线段，有4种情况，由于三角形中两边之和应大于第三边，所以能构成等腰三角形的情况有2种，故能构成等腰三角形的概率==． 故选C． 此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=；用到的知识点为：等腰三角形有2条边长相等；构成三角形的基本要求为两小边之和大于第三边． 2．（5分）（2008?铜仁地区）如图，M是△ABC的边BC的中点，AN平分∠BAC，且BN⊥AN，垂足为N，且AB=6，BC=10，MN=1.5，则△ABC的周长是（ ）
点评： A． 28 考点： 分析： 解答： B．3 2 18 C． D．2 5 三角形中位线定理． 延长线段BN交AC于E，从而构造出全等三角形，（△ABN≌△AEN），进而证明MN是中位线，从而求出CE的长． 解：延长线段BN交AC于E． ∵AN平分∠BAC， ∴∠BAN=∠EAN，AN=AN，∠ANB=∠ANE=90°， ∴△ABN≌△AEN， ∴AE=AB=6，BN=NE， 又∵M是△ABC的边BC的中点， ∴CE=2MN=2×1.5=3， ∴△ABC的周长是AB+BC+AC=6+10+6+3=25， 故选D． 页 （共 4 页） 九年级预赛试卷第 4
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www.jyeoo.com 点评： 本题主要考查了中位线定理和全等三角形的判定．解决本题的关键是作出辅助线，利用全等三角形来得出线段相等，进而应用中位线定理解决问题． 2
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3.（5分）已知xy≠1,且有5x+2011x+9=0,9y+2011y+5=0，则 A． 5B． 9C． 2011x的值等于( ) y?9 9 5 ?5 D． 2011 选B 4．（5分）已知直角三角形的一直角边长是4，以这个直角三角形的三边为直径作三个半圆（如图所示），已知两个月牙形（带斜线的阴影图形）的面积之和是10，那么以下四个整数中，最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是（ ）
A． 6 考点： 专题： 分析： B．7 8 C． D．9 扇形面积的计算；三角形的面积；勾股定理． 计算题． 如图，AC=4，S1+S2=10，设BC=a，利用圆的面积公式得到S1+S2+S3+S4=π×2+π×a=2π+于是有S3+S4=2π+S3+S4=π×a﹣10①，再用以AB为直径的半圆减去三角形ABC的面积得到S3+S4，即﹣×4a=222a，2a+2π﹣2a②，有①﹣②得到a的方程，求出a，然后代入①即可得到两2解答： 个弓形（带点的阴影图形）面积之和． 解：如图， AC=4，S1+S2=10，设BC=a， ∴S1+S2+S3+S4=π×2+π×a=2π+∴S3+S4=2π+22222a， 2a﹣10①， 22又∵AB=4+a=16+a， ∴S3+S4=π×①﹣②得，2π+∴S3+S4=2π+2﹣×4a=a﹣10=a﹣10=2π+22a+2π﹣2a②， 2a+2π﹣2a，解得a=5， ×25﹣10≈6.1， 即最接近图中两个弓形（带点的阴影图形）面积之和的是6．
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