课时分层作业(二十三) 指数函数的综合应用
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1．一种专门占据内存的计算机病毒，开机时占据内存2 KB，然后每3分钟自身复制一次，复制后所占据内存是原来的2倍，那么开机后，该病毒占据64 MB(1 MB＝210KB)内存需经过的时间为( )
A．15分钟 C．45分钟
B．30分钟 D．60分钟
nC [设该病毒占据64 MB内存需经过n分钟，则2×23＝64×210，解得n＝45.] 1
2．函数y＝ax－(a＞0，a≠1)的图象可能是( )
a
A B C D
D [当a＞1时函数单调递增，－＜0，故A不正确；因为y＝a－恒不过点1
x1
aa(1，1)，所以B不正确；当0＜a＜1时函数单调递减，－＜0，故C不正确 ；D
1
a正确．]
3．设a，b满足0 C [由于y＝a与y＝b为减函数， 故A.B错误； xxB．ba b?b?a因为>1，a>0，所以??>1， a?a?所以aa ba ?b?b所以??>1， ?a?所以ab 4．函数y＝|2x－1|的大致图象是( ) C [如图先作y＝2x的图象，再向下平移1个单位得y＝2x－1的图象，再把y＝2x－1的图象在x轴下方的图象翻折上去得y＝|2x－1|的图象，如图实线部分．故选C.] 5．如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(m2)与时间t(月)的关系：y＝at，有以下叙述： ①这个指数函数的底数是2； ②第5个月时，浮萍的面积就会超过30m2； ③浮萍从4m2蔓延到12m2需要经过1.5个月； ④浮萍每个月增加的面积都相等． 其中正确的是( ) A．①②③ B．①②③④ C．②③④ D．①② D [由a1＝2，得a＝2，所以y＝2t，故①正确； 当t＝5时，y＝25＝32>30，故②正确； 当y＝4时，t＝2，经过1.5个月后面积为23.5＜12，，故③错误； 2t＋1 ＝2，故④错误．] 2t二、填空题 6．解方程：52x－6×5x＋5＝0的解集为________. {0，1} [令t＝5x，则原方程可化为t2－6t＋5＝0， 所以t＝5或t＝1，即5x＝5或5x＝1， 所以x＝1或x＝0.] 7．函数f(x)＝3 －x2＋2ax在(－∞，1)内单调递增，则a的取值范围是________. [1，＋∞) [设u＝－x2＋2ax，则y＝3u是R上的增函数，而原函数在(－∞，1)内单调递增，所以u＝－x2＋2ax在(－∞，1)也是增函数，而u＝－x2＋2ax的单调增区间为(－∞，a)， 所以a≥1.] ?1?|x| 8．若关于x的方程??＋m＝0有实数解，则实数m的取值范围是________． ?2??1?|x| [－1，0) [法一：∵0 ?2??1?|x| ∴m ?2? ?1?|x| 要使方程??＋m＝0有解，只要m<0≤m＋1， ?2?解得－1≤m<0，故实数m的取值范围是[－1，0). ?1?|x| 法二：令y＝??＋m，作函数图象，如图， ?2? ?1?|x| 依题意，函数y＝??＋m的图象与x轴有交点， ?2? ?m<0，∴?解得－1≤m<0，即m∈[－1，0).] m＋1≥0，?三、解答题 1?? 9．已知指数函数f(x)的图象过点?2，?. 9??(1)求函数f(x)的解析式； (2)已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围； [解] (1)设f(x)＝ax(a>0且a≠1). 1?11? 将点?2，?代入得＝a2.解得a＝. 9?93??1?x故f(x)＝??. ?3? ?1?x(2)由(1)知f(x)＝??，显然f(x)在R上是减函数， ?3?又f(|x|)>f(1)，所以|x|<1，解得－1 10．已知f(x)＝. x（2－1）＋1(1)讨论f(x)的奇偶性； (2)讨论f(x)的单调性． [解] (1)f(x)的定义域为R， （2－1）－x－11－（2－1）x又f(－x)＝＝ （2－1）－x＋11＋（2－1）x（2－1）－x－1＝－＝－f(x)， －x（2－1）＋1所以f(x)是奇函数． （2－1）x－12 (2)f(x)＝＝1－， xx（2－1）＋1（2－1）＋1又y＝(2－1)x是减函数，且y>0， 2 所以y＝是增函数， （2－1）x＋1 所以f(x)是减函数． 11．已知函数f(x)＝a2－x(a>0，a≠1)，当x>2时，f(x)>1，则f(x)在R上( ) A．是增函数 B．是减函数 C．当x>2时是增函数，当x<2时是减函数 D．当x>2时是减函数，当x<2时是增函数 A [因为当x>2时，2－x<0.f(x)>1，所以0 ?1?a?1?b12．已知实数a，b满足等式??＝??，给出下列五个关系式：①0 ?2??3?②a A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ?1?x?1?xB [画出函数y＝??与y＝??的图象，如图所示． ?3??2? ?1?a?1?b当x<0时，??＝??，则有a ?2??3??1?a?1?b当x>0时，??＝??，则有a>b>0； ?2??3??1?a?1?b当x＝0时，??＝??，则有a＝b＝0. ?2??3? 所以题中的五个关系式中不可能成立的有两个．] 13．已知函数f(x)＝2x－1，对于满足0
2020_2021学年新教材高中数学课时分层作业23指数函数的综合应用含解析北师大版必修第一册
