专题24 逆用导数运算法则构造函数型
[真题再现]
例1 设奇函数f(x)定义在(-?,0)∪(0,?)上其导函数为f?(x),且
?
f(2)=0,当0<x<?时,f?(x)sinx-f(x)cosx<0,则关于x的不等式?
f(x)<2f(6)sinx的解集为 . ??
【答案】(-6,0)∪(6,?)
【分析】这是一道难度较大的填空题,它主要考查奇函数的单调性在
解不等式中的应用,奇函数的图象关于坐标原点中心对称,关于原点对称的区间上具有相同的单调性;在公共定义域上两个奇函数的积与商是偶函数,偶函数的图象关于y轴轴对称,关于原点对称的区间上具有相反的单调性,导数是研究函数单调性的重要f?g-fg?f
工具,大家知道(g)?=g2,(sinx)?=cosx,于是本题的本质是f(x)
构造sinx来解不等式
f?(x)sinx-f(x)cosxf(x)f(x)
【解析】设g(x)= sinx,则g? (x)= (sinx)?=, sin2x
所以当0<x<?时,g? (x)<0,g(x) 在(0,?)上单调递减 ?1
又由于在(0,?)上sinx>0,考虑到sin6=2,所以不等式f(x)<?f(6)f(x)???
2f(6)sinx等价于sinx<,即g(x)< g(6),所以此时不等式等价于6
?sin6
2021高考数学
<x<?.
又因为f(x) 、sinx为奇函数,所以g(x)是偶函数,且在(-?,0)上sinx<0,所以函数g(x)在(-?,0)是单调递增函数,原不等式等价?f(-6)??
于g(x)>g(-6)=,所以此时不等式等价于-6<x<0,
?sin(-6)??
综上,原不等式的解集是(-6,0)∪(6,?).
例2 函数f(x)的定义域为R,f(?1)?2,对任意x?R,f?(x)?2,则
f(x)?2x?4的解集为 . 【答案】(?1,+?)
【分析】题目应归结为“解抽象函数型不等式”问题,解决方法是“逆用函数的单调性”.题目中哪个条件能让你联想到“函数的单调性”呢?注意到已知中f?(x)?2,只需构造函数g(x),使得g?(x)?f?(x)?2,不难得到g(x)?f(x)?2x?c(这里c为常数,本题中取c?0),进而利用g(x)的单调性,即可找到解题的突破口.
【解析】构造函数g(x)?f(x)?2x,则g?(x)?f?(x)?2?0,故g(x)单调递
增,且g(?1)?f(?1)?2?(?1)?4.
另一方面所求不等式f(x)?2x?4, 就转化为g(x)?f(x)?x?g(?1),逆用单调性定义易知x?1,则不等式的解集为(?1,??).
例3 设f(x)是定义在R上的可导函数,且满足f(x)+xf′(x)>0,则不等式f(x+1)>x-1·f(x2-1)的解集为________.
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【答案】[ [1,2)
【解析】设F(x)=xf(x),则由F′(x)=f(x)+xf′(x)>0,可得函数F(x)是R上的增函数.
又x+1>0,∴由f(x+1)>x-1f(x2-1)可变形得x+1f(x+1)>x2-1f(x2-1),即F(x+1)>F(x2-1), ∴
??x+1>x2-1,?解得1≤x<2. ??x≥1,
点评:
题目已知中出现含f(x)、f′(x)的不等式,一般应考虑逆用导数的运算法则构造新,然后再逆用单调性等解决问题,构造新函数的方法有:
1.对于f?(x)?a,构造h(x)?f(x)?ax?b.
2.对于xf?(x)?f(x)?0(?0),构造h(x)?xf?(x);一般的,对于
xf?(x)?nf(x)?0(?0),构造h(x)?xnf(x).
3.对于xf?(x)?f(x)?0(?0),构造h?x??xf?(x)?nf(x)?0(?0),构造h(x)?f(x). xnf?x?;一般的,对于xf?x?4.对于f?(x)?f(x)?0(?0),构造h?x??x;一般的,对于
ef?(x)?nf(x)?0(?0),构造h(x)?f(x). enx5.对于f?(x)?f(x)?0(?0),构造h?x??exf?x?;一般的,对于
f?(x)?nf(x)?0(?0),构造h(x)?enxf(x).
6.对于
f?(x)?f(x)tanx(或f?(x)?f(x)tanx),即
f?(x)cosx?f(x)sinx?0(?0),构造h(x)?f(x)cosx.
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7.对于f?(x)cosx?f(x)sinx?0(?0),构造h(x)?8.对于
f?(x)?0,构造h(x)?lnf(x). f(x)f(x). cosx9.对于f?(x)?lnaf(x)?0(?0),构造h(x)?axf(x). 10.对于f?(x)lnx?[强化训练]
1.函数f(x)的定义域是R,f(0)=2,对任意x∈R,f(x)+f′(x)>1,则不等式ex·f(x)>ex+1的解集为______. 【答案】 (0,+∞)
【解析】构造函数g(x)=ex·f(x)-ex,
因为g′(x)=ex·f(x)+ex·f′(x)-ex=ex[f(x)+f′(x)]-ex>ex-ex=0, 所以g(x)=ex·f(x)-ex为R上的增函数.又因为g(0)=e0·f(0)-e0=1,所以原不等式转化为g(x)>g(0),解得x>0.
2.已知定义在R上的奇函数f?x?,设其导函数为f'?x?,当x????,0?时,恒有xf'?x??f??x?,则满足1?2x?1?f?2x?1??f?3?的实数x的取值范围
3f(x)?0(?0),构造h(x)?f(x)lnx. x是 . 【答案】??1,2?
3???????????fx?f?x?2xy?fxx?Rfx3.已知的导函数为.若,且当x?0时,
f??x??3x2,则不等式f?x??f?x?1??3x2?3x?1的解集是 .
【答案】(2,??)
4.已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)?1,且f(x)的导函数
f?(x)?x?1,则不等式f(x)?12x?x?1的解集为( ) 21A.?x?2?x?2? B.?xx?2?
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C.?xx?2? D.{x|x??2或x?2} 【答案】C.
5.设f(x),g(x)在[a,b]上可导,且f'(x)?g'(x),则当a?x?b时,有( )
A.f(x)?g(x) B.f(x)?g(x) C.f(x)?g(a)?g(x)?f(a) D.f(x)?g(b)?g(x)?f(b)
【答案】C
【解析】构造函数F(x)?f(x)?g(x),则易知F(x)单调递增,于是
F(a)?F(x)?F(b),f(x)?g(x)?f(a)?g(a),选
C.
6.设f(x)是定义在(0,??)上的可导函数,且f(x)??xf'(x),则不等式
f(x?1)?(x?1)f(x2?1)的解集是( )
A. (0,1) B. (1,??) C. (1,2) D. (2,??) 【答案】D
【解析】构造函数[xf(x)]'?f(x)?xf'(x)?0,于是该函数递减,
f(x?1)?(x?1)f(x2?1)变形为(x?1)f(x?1)?(x2?1)f(x2?1),于是?x?1?0?2?x?1?0,得x?2,选D. ?x?1?x2?1?7.定义在R上的可导函数f?x?,当x??1,???时,?x?1?f??x??f?x??0恒成立,a?f?2?,b?( )
A.c?a?b B.b?c?a C.a?c?b D.c?b?a 【答案】A
【解析】构造函数g?x??f?x?, x?11f?3?,c?2?2?1f??2?,则a,b,c的大小关系为
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专题24 逆用导数运算法则构造函数型-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练
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