专题24 逆用导数运算法则构造函数型
[真题再现]
例1 设奇函数f(x)定义在(－?，0)∪(0，?)上其导函数为f?(x)，且
?
f(2)＝0，当0＜x＜?时，f?(x)sinx－f(x)cosx＜0，则关于x的不等式?
f(x)＜2f(6)sinx的解集为 ． ??
【答案】(－6，0)∪(6，?)
【分析】这是一道难度较大的填空题，它主要考查奇函数的单调性在
解不等式中的应用，奇函数的图象关于坐标原点中心对称，关于原点对称的区间上具有相同的单调性；在公共定义域上两个奇函数的积与商是偶函数，偶函数的图象关于y轴轴对称，关于原点对称的区间上具有相反的单调性，导数是研究函数单调性的重要f?g－fg?f
工具，大家知道(g)?＝g2，(sinx)?＝cosx，于是本题的本质是f(x)
构造sinx来解不等式
f?(x)sinx－f(x)cosxf(x)f(x)
【解析】设g(x)= sinx，则g? (x)= (sinx)?＝， sin2x
所以当0＜x＜?时，g? (x)<0，g(x) 在(0，?)上单调递减 ?1
又由于在(0，?)上sinx＞0，考虑到sin6＝2，所以不等式f(x)＜?f(6)f(x)???
2f(6)sinx等价于sinx＜，即g(x)< g(6),所以此时不等式等价于6
?sin6
2021高考数学
＜x＜?.
又因为f(x) 、sinx为奇函数，所以g(x)是偶函数，且在(－?，0)上sinx＜0，所以函数g(x)在(－?，0)是单调递增函数，原不等式等价?f(－6)??
于g(x)＞g(－6)=，所以此时不等式等价于－6＜x＜0，
?sin(－6)??
综上，原不等式的解集是(－6，0)∪(6，?)．
例2 函数f(x)的定义域为R，f(?1)?2，对任意x?R，f?(x)?2，则
f(x)?2x?4的解集为 . 【答案】（?1，+?）
【分析】题目应归结为“解抽象函数型不等式”问题，解决方法是“逆用函数的单调性”.题目中哪个条件能让你联想到“函数的单调性”呢？注意到已知中f?(x)?2，只需构造函数g(x)，使得g?(x)?f?(x)?2，不难得到g(x)?f(x)?2x?c（这里c为常数，本题中取c?0），进而利用g(x)的单调性，即可找到解题的突破口.
【解析】构造函数g(x)?f(x)?2x，则g?(x)?f?(x)?2?0，故g(x)单调递
增，且g(?1)?f(?1)?2?（?1）?4.
另一方面所求不等式f(x)?2x?4， 就转化为g(x)?f(x)?x?g(?1)，逆用单调性定义易知x?1，则不等式的解集为(?1,??).
例3 设f(x)是定义在R上的可导函数，且满足f(x)＋xf′(x)>0，则不等式f(x＋1)>x－1·f(x2－1)的解集为________．
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【答案】[ [1,2)
【解析】设F(x)＝xf(x)，则由F′(x)＝f(x)＋xf′(x)>0，可得函数F(x)是R上的增函数．
又x＋1>0，∴由f(x＋1)>x－1f(x2－1)可变形得x＋1f(x＋1)>x2－1f(x2－1)，即F(x＋1)>F(x2－1)， ∴
??x＋1>x2－1，?解得1≤x<2. ??x≥1，
点评：
题目已知中出现含f(x)、f′(x)的不等式，一般应考虑逆用导数的运算法则构造新，然后再逆用单调性等解决问题，构造新函数的方法有：
1.对于f?(x)?a，构造h(x)?f(x)?ax?b.
2.对于xf?(x)?f(x)?0(?0)，构造h(x)?xf?(x)；一般的，对于
xf?(x)?nf(x)?0(?0)，构造h(x)?xnf(x)．
3.对于xf?(x)?f(x)?0(?0)，构造h?x??xf?(x)?nf(x)?0(?0)，构造h(x)?f(x)． xnf?x?；一般的，对于xf?x?4.对于f?(x)?f(x)?0(?0)，构造h?x??x；一般的，对于
ef?(x)?nf(x)?0(?0)，构造h(x)?f(x)． enx5.对于f?(x)?f(x)?0(?0)，构造h?x??exf?x?；一般的，对于
f?(x)?nf(x)?0(?0)，构造h(x)?enxf(x)．
6.对于
f?(x)?f(x)tanx(或f?(x)?f(x)tanx)，即
f?(x)cosx?f(x)sinx?0(?0)，构造h(x)?f(x)cosx．
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7.对于f?(x)cosx?f(x)sinx?0(?0)，构造h(x)?8.对于
f?(x)?0，构造h(x)?lnf(x). f(x)f(x)． cosx9.对于f?(x)?lnaf(x)?0(?0)，构造h(x)?axf(x). 10.对于f?(x)lnx?[强化训练]
1.函数f(x)的定义域是R，f(0)＝2，对任意x∈R，f(x)＋f′(x)>1，则不等式ex·f(x)>ex＋1的解集为______． 【答案】 (0，＋∞)
【解析】构造函数g(x)＝ex·f(x)－ex，
因为g′(x)＝ex·f(x)＋ex·f′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)]－ex>ex－ex＝0， 所以g(x)＝ex·f(x)－ex为R上的增函数．又因为g(0)＝e0·f(0)－e0＝1，所以原不等式转化为g(x)>g(0)，解得x>0.
2.已知定义在R上的奇函数f?x?，设其导函数为f'?x?，当x????,0?时，恒有xf'?x??f??x?，则满足1?2x?1?f?2x?1??f?3?的实数x的取值范围
3f(x)?0(?0)，构造h(x)?f(x)lnx. x是 ． 【答案】??1,2?
3???????????fx?f?x?2xy?fxx?Rfx3.已知的导函数为.若，且当x?0时，
f??x??3x2，则不等式f?x??f?x?1??3x2?3x?1的解集是 .
【答案】(2,??)
4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(2)?1，且f(x)的导函数
f?(x)?x?1，则不等式f(x)?12x?x?1的解集为（ ） 21A．?x?2?x?2? B．?xx?2?
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C．?xx?2? D．{x|x??2或x?2} 【答案】C．
5．设f(x),g(x)在[a,b]上可导，且f'(x)?g'(x)，则当a?x?b时，有（ ）
A.f(x)?g(x) B.f(x)?g(x) C.f(x)?g(a)?g(x)?f(a) D.f(x)?g(b)?g(x)?f(b)
【答案】C
【解析】构造函数F(x)?f(x)?g(x)，则易知F(x)单调递增，于是
F(a)?F(x)?F(b)，f(x)?g(x)?f(a)?g(a)，选
C.
6.设f(x)是定义在(0,??)上的可导函数，且f(x)??xf'(x)，则不等式
f(x?1)?(x?1)f(x2?1)的解集是（ ）
A. (0,1) B. (1,??) C. (1,2) D. (2,??) 【答案】D
【解析】构造函数[xf(x)]'?f(x)?xf'(x)?0，于是该函数递减，
f(x?1)?(x?1)f(x2?1)变形为(x?1)f(x?1)?(x2?1)f(x2?1)，于是?x?1?0?2?x?1?0，得x?2，选D. ?x?1?x2?1?7．定义在R上的可导函数f?x?，当x??1,???时，?x?1?f??x??f?x??0恒成立，a?f?2?,b?（ ）
A．c?a?b B．b?c?a C．a?c?b D．c?b?a 【答案】A
【解析】构造函数g?x??f?x?， x?11f?3?,c?2?2?1f??2?，则a,b,c的大小关系为
2021高考数学
专题24 逆用导数运算法则构造函数型-2021年高考数学压轴题解法分析与强化训练
