微分几何基础
微积分的基本定理
大概地说，微分就是把曲线用它的切线来研究它的性质，知道了曲线每一点切线的性质，也就知道了曲线的总体性质。这相当于说把函数线性化。线性化后，可以加减乘除，可以计算，并得到一个数来。数学要是能得到一个数来，总是很要紧的。
积分大概的说，是计算面积。
微分是积分的反运算。如果 ，则
。
这就是微分与积分的基本关系，或叫微积分基本定理。
多元微积分
2维积分情形就有了区域，我们叫它
，那么它的边界叫
，所以积分的一个自然推广是一个2重积分。一维积分是把x分成小段，然后取小段再乘上这个函数，求一个和。在2重积分的时候，方法也是把区域分成小块，然后取每一小块的面积，在其上函数值乘上它的面积，然后求它的和。很不得了的，假使函数好的话，无论你如何圈你的区域，极限是一样的，这极限就是2重积分：
在2维的时候，甚至高维的时候，一个重要的现象是，我们现在有2个变数x,y,换变数怎么样？换变数是微积分很重要的方法，很多问题看你的变数选择是否适当，有时换变数，问题就立即简单化了。现在换变数：
其中，
是另外一组坐标。我们发现一个事实，在高维的时候，微分的乘法，我们写成
。
在多维情况下，微积分有一个巨大的进步，就是引进外代数和外微分。一维情况下，变量微分是
，二维情况下，我们引进一个乘法
，并假定这个乘法是反对称的
如果这样定义，则易得 ，因为
。
这时的变数由 变为
，因为
，所以就没有高次的东西了。这样得到的代数是外代数。
是微积分上最微妙的观点。（当一个大家说某个东西很妙时，你一定得反复地深入地去体会其中妙味！）
这个代数很妙的，有一个立刻的结论，换变数公式为：
假使我们的微分是偏微分，所以
现在用外乘法一乘，
，而
因为乘法是反对称的，所以是刚好乘以 的雅可比：
，
这个符号是雅可比，是四个偏微分所成的行列式，所以
这个刚巧是我们重积分变数的一个关系。我们知道重积分是要换变数的话，它应该乘上雅可比。所以这个结论是，对重积分的Integral可看成是外代数的多项式，那么换代数就自然对了。这里有点微妙的地方，因为通常，你要证明换变数的公式的时候，假定雅可比是正的，不然的话，乘上雅可比的绝对值，使它是正
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