习题92
1 计算下列二重积分 (1)??(x2?y2)d? 其中D{(x
D y)| |x|1 |y|y1
1} 于是
解 积分区域可表示为D 11 1x1 1
11y3]1dx 22222?dx(x?y)dy(x?y)d??[xy???1??1????1?13D11?8 ??(2x2?1)dx?[2x3?2x]? ?133313 (2)??(3x?2y)d? 其中D是由两坐标轴及直线xyD2所围成的闭区域 解 积分区域可表示为D
0x2 0y202x 于是 ??(3x?2y)d???dx?D0222?x0xdx (3x?2y)dy??[3xy?y2]2?02?20 ??(4?2x?2x2)dx?[4x?x2?2x3]0033[ x1
1 (3)??(x3?3x2y?y2)d?D323 其中D
113{(x
2 y)| 0
3 0y1}
4x 解 ??(x?3xy?y)d???dy?(x?3xy?y)dx??[?x3y?y3x]1dy 00004Dyy2y4111113 ??(?y?y)dy?[??]0????1 04424424 (4)??xcos(x?y)d? 其中D是顶点分别为(0 0) (1D 0) 和( )的三角形闭区域 解 积分区域可表示为D
?0 0x0x 0y?0x 于是 xdx ??xcos(x?y)d???xdx?cos(x?y)dy??x[sin(x?y)]0D ??x(sin2x?sinx)dx???xd(1cos2x?cosx) 002 ?11? ??x(cos2x?cosx)|0??(cos2x?cosx)dx??3?0222??
2 画出积分区域 并计算下列二重积分 (1)??xyd? 其中D是由两条抛物线y?x y?x2所围成的闭区域|
D 解 积分区域图如 并且Dx{(x y)| 01x1 x2?y?x} 于是 7??xDDyd???dx?20x13122x2xydy??x[y]x2dx??(x4?2x4)dx?60303355
(2)??xy2d? 其中D是由圆周x2
并且D4?y2y24及y轴所围成的右半闭区域22 解 积分区域图如 {(x y)| 2y2 0?x?4?y2} 于是 ??xyd??dy?D?22220xy2dx??[1x2y2]04?ydy ?22 ??(2y2?1y4)dy?[2y3?1y5]2?64 ?2?2231015 (3)??ex?yd? 其中D{(x y)| |x||y|1} D￥
x1y
x1}{(x y)| 0
x1
解 积分区域图如 并且 D{(x y)| 1x0 x1yx1} 于是
??ex?yd???exdx?D?10?10x?1?x?1eydy??exdx?001?x?1x?1eydy
1x?1xy?x?12x?1?e?1)dx??(e?e2x?1)dx ??ex[ey]?x?1dx??e[e]x?1dy??(e0?1011e2x?1]1 ?[1e2x?1?e?1x]0?[ex??1022 (4)??(x2?y2?x)d?Dee1 2 yx及y2x轴所围成的闭区 其中D是由直线y域 并且D{(x y)| 0y2 1y?x?y} 于是 2 解 积分区域图如 2y211x2]y222232ydy (x?y?x)d??dy(x?y?x)dx?[x?yx?y???0?2?0322D2 ??(19y3?3y2)dy?1302486】 3
如果二重积分??f(x,y)dxdy的被积函数f(x y)是两个函数f1(x)及f2(y)的
D乘积 即f(x y) f1(x)f2(y) 积分区域D{(x y)| axb c证明这个二重积分等于两个单积分的乘积 即
??f1(x)?f2(y)dxdy?[?f1(x)dx]?[?f2(y)dy]
Dacbd yd}
证明
??f1(x)?f2(y)dxdy??dx?f1(x)?f2(y)dy??[?f1(x)?f2(y)dy]dxDacacbdbd
而 故
d?cdf1(x)?f2(y)dy?f1(x)?f2(y)dycd
于是得
??f1(x)?f2(y)dxdy??[f1(x)?f2(y)dy]dxDacbd由于?f2(y)dy的值是一常数
c 因而可提到积分号的外面
bd ??f1(x)?f2(y)dxdy?[?f1(x)dx]?[?f2(y)dy]
Dac
4
化二重积分I???f(x,y)d?为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不
D同的两个二次积分) 其中积分区域D是
(1)由直线yx及抛物线y24x所围成的闭区域
】
并且
{(x y)| 0?y?4, 1y2?x?y}4 解积分区域如图所示
D{(x y)|0?x?4, x?y?2x} 或D所以 I??dx?042xxf(x,y)dy或I??dy?f(x,y)dx04yy24 (2)由x轴及半圆周x2 解积分区域如图所示 D 或Dy2r2(y 并且
0)所围成的闭区域
{(x y)|?r?x?r, 0?y?r2?x2} {(x y)| 0?y?r, ?r2?y2?x?r2?y2} 所以 I??dx??rrr2?x20f(x,y)dy 或I??dy?0rr2?y2?r2?y2f(x,y)dx (3)由直线yx x2及双曲线y?1(x>0)所围成的闭区域x 并且
解积分区域如图所示
:
{(x y)|1?x?2, 1?y?x}x D 或D{(x y)| 1?y?1, ?1?x?2}{(x y)|1?y?2, y?x?2} 2y2x所以 I??dx?1f(x,y)dy1x 或I??1dy?1f(x,y)dx??dy?f(x,y)dx2y12221y (4)环形闭区域{(x y)| 1x2y24}
1和x1可将积分区域D分成四部分
分别记
解 如图所示 用直线x
做D1 D2 D3 D4 于是
I???f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?
D1D2D3D4 ??dx??21?14?x2?4?x2f(x,y)dy??dx??1214?x21?x24?x2f(x,y)dy ??dx??1?1?x2?4?x2f(x,y)dy??dx?1?4?x2f(x,y)dy 分别记做D1
D2
用直线yD3 D 4
1 和y1可将积分区域D分成四部分
如图所示 于是
:
I???f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d????f(x,y)d?D1D2D3D4
??dy?124?y2?4?y2f(x,y)dx??dy??11?1?y2?4?y2f(x,y)dx ??dy??114?y21?y2f(x,y)dx??dy??2?14?y2?4?y2f(x,y)dx 5 设f(x y)在D上连续的闭区域 证明
其中D是由直线yx、ya及xb(b>a)围成
?abdx?f(x,y)dy??dy?f(x,y)dxaayxbb
证明 积分区域如图所示 D于是
{(x y)|a
b 并且积分区域可表示为
x} 或D
{(x y)|ay
bbxb ay
xb yxb}
??f(x,y)d???adx?af(x,y)dyD 或??f(x,y)d???dy?f(x,y)dxDay
9-2高等数学同济大学第六版本
