分）
1．有一上部为圆柱形、下部为圆锥形的无盖容器，容积为常数。已知圆
柱的高为H，圆柱和圆锥的底面半径为R，圆锥的高为h，求容器侧面积最小时H:R:h。
2．计算曲线积分?(x?y)dx?(x?y)dy，其中C为x2y22?2?1的周界。
?Cab3．设函数f(x)在(0,??)上连续，f(1)?52，对于一切的x，t满足 ?xtxt1f(u)du?t?1f(u)du?x?1f(u)du，求f(x)。
华南农业大学期末考试试卷（A卷）
2015~2016学年第2 学期 考试科目：高等数学AⅡ参考答案
一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．{(x,y)|y2?2x?2?0} 2．?4 3．2x?y?0 4．(y?1)dx?(x?x3yy2)dy5．a?1
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
1．B 2．C 3．C 4．C 5．D
三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1. 求微分方程y'?ytanx?secx的通解。
解：先求y'?ytanx?0的通解，得y?Ccosx………………3分
采用常数变易法，设y?h(x)cosx，得y'?h'(x)cosx?h(x)sinx………4分 代入原方程得h'(x)cosx?secx………………5分 得h(x)?tanx?C………………6分
故通解为y?sinx?Ccosx………………7分
xn2. 求幂级数?的和函数。
n?1n(n?1)?解：??limn??an?1n(n?1)?lim?1，所以R?1，………………1分 n??(n?1)(n?2)an当x??1时级数收敛，所以收敛域为[?1,1]………………2分 因为1?x?x2?x3?12?xn??11?x(?1?x?1)………………3分
两边积分得x?x2?分
两边再积分得
x2x3??22?31n?1x?n?1??ln(1?x)(?1?x?1)………………4
xn?2?(n?1)(n?2)??x?(1?x)ln(1?x)(?1?x?1)…………5分
xnx?(1?x)ln(1?x)?两边除以x，即得?xn?1n(n?1)(?1?x?1,x?0)………6
分
考虑x?0和x?1的情况，得
?x?(1?x)ln(1?x)?xn??x??0,?n(n?1)n?1?1,??x?[?1,0)?(0,1)x?0。 x?13.求由方程x3?y3?z3?xyz?6?0确定隐函数z?z(x,y)在点(1,2,?1)的偏奥数
?z?z和。 ?y?x解：设F(x,y,z)?x3?y3?z3?xyz?6………………1分
Fx?3x2?yz,Fy?3y2?xz,Fz?3z2?xy………………4分
FyFx?z3x2?yz?z3y2?xz………………6分 ????2,????2?xFz3z?xy?yFz3z?xy将(1,2,?1)代入得
?z1?z11??,??。………………7分
?x(1,2,?1)5?y(1,2,?1)54.求曲线积分?ydx?xdy，其中L为圆周x?Rcost，y?Rsint上t从0到
L?2的一段弧。
?解：?ydx?xdy??02(R2cos2t?R2sin2t)dt………………4分
L??R2?20cos2tdt………………5分
?20R2?sin2t2………………6分
?0………………7分
5.计算??cos(x?y)dxdy，其中D是由x?0，y??及y?x所围成的区域。
D解：D?{(x,y)|0?x??,x?y??}………………2分
??cos(x?y)dxdy??dx?cos(x?y)dy………………4分
D0x?????(sinx?sin2x)dx………………6分
0???2………………7分
?2?6.已知limun?a，un及a都是正数，讨论级数???的敛散性。
n??n?1?un??n?2?22解：limn???lim?………………1分
n??n??uan?un?n当?1，即a?2时，级数收敛………………3分
2a2a当?1，即0?a?2时，级数发散………………5分
当2a?1，即a?2时，级数可能收敛也可能发散。………………7分
7.将函数
x
1?3x
展开成x的幂级数，并求其成立的区间。 解：因为
1?1?x??xn,|x|?1………………2分 n?0x?3x?x?11?3x?x[1?3x?(3x)2?(3x)31?]?x?3x2?9x3?27x4?………
………5分
成立范围为3x?1,即|x|?13………………7分
四、 解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）
4．1.有一上部为圆柱形、下部为圆锥形的无盖容器，容积为常数。已知
圆柱的高为H，圆柱和圆锥的底面半径为R，圆锥的高为h，求容器侧面积最小时H:R:h。
解：V??R2h?1?R2h??R2(H?h33)?C（常数）………………1分 设无盖容器的侧面积为S，则S??R(2H?h2?R2)………………1分 构造拉格朗日函数
F??R(2H?h2?R2)??(?R2H??3R2h?C)………………3分
??F?R22hR??(2H?h?R2?)?2?R?(H?)?0?h2?R23??FH?2?R???R2?0??F?Rh?2………………5分 ?h?h2?R2?3R??0???F??R2H???3R2h?C?0解得R??2,h??41,H??21?5?5?………………6分
所以H:R:h?1:5:2为最小值，d(p2)?62为最大值………………7分
x2y22.计算曲线积分?(x?y)dx?(x?y)dy，其中C为2?2?1的周界。
ab?C解：设P?x?y,Q??(x?y)………………1分 则
?P?Q?1,??1………………3分 ?y?x由格林公式得
?C?(x?y)dx?(x?y)dy???(?1?1)d?………………5分
D??2?ab………………7分
3.设函数f(x)在(0,??)上连续，f(1)?，对于一切的x，t满足
52?xt1f(u)du?t?f(u)du?x?f(u)du，求f(x)。
11xt解：等式两边对t求导，得
xf(xt)??f(u)du?xf(t)………………2分
1x令t?1得xf(x)??f(u)du?1两边对x求导得f'(x)?52x5x………………3分 25………………4分 2x解之得f(x)?(lnx?C)………………5分 由f(1)?，得C?1………………6分 所以f(x)?(lnx?1)………………7分
华南农业大学期末考试试卷（A卷）
2014~2015学年第2 学期 考试科目：高等数学AⅡ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 题号 得分 5252一 二 三 四 总分
高等数学下试题及参考答案
